Страница 280 номер 541, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Дано:
\(X_0 = 300\) — покупателей в гипермаркете в 17:00
\(p = 1{,}5q\) — вход в полтора раза вероятнее выхода
\(n = 1800\) — секунд с 17:00 до 17:30

Найти: \(\mathrm{E}X_{1800}\) — математическое ожидание числа покупателей к 17:30.

Решение:

Каждую секунду число покупателей в гипермаркете либо увеличивается на 1 (кто-то вошёл), либо уменьшается на 1 (кто-то вышел). Значит, число покупателей — состояние простого случайного блуждания с начальным состоянием \(X_0 = 300\): подъём — это вход, спуск — выход.

Вход в полтора раза вероятнее выхода, других исходов нет, поэтому \(p = 1{,}5q\) и \(p + q = 1\). Отсюда \(1{,}5q + q = 1\), то есть \(2{,}5q = 1\), \(q = 0{,}4\) и \(p = 0{,}6\), а \(p - q = 0{,}2\).

С 17:00 до 17:30 проходит \(30 \cdot 60 = 1800\) секунд, то есть блуждание делает 1800 шагов.

Пусть \(Y_n\) — число подъёмов за \(n\) шагов. Тогда спусков будет \(n - Y_n\), и состояние равно \(X_n = 300 + 2Y_n - n\). Число подъёмов имеет биномиальное распределение с параметрами \(n\) и \(p\), поэтому \(\mathrm{E}Y_n = np\) и

\[\mathrm{E}X_n = 300 + 2np - n = 300 + (p - q)n.\]

При \(n = 1800\) получаем \(\mathrm{E}X_{1800} = 300 + 0{,}2 \cdot 1800 = 300 + 360 = 660\) (чел.) — столько покупателей в среднем будет в гипермаркете к 17:30.

Ответ: 660 покупателей.