Страница 270 номер 532, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Случайная выборка из \(20\) квартир (г. Красноярск): число проживающих и общий расход воды за месяц.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Жильцов, чел.} & \text{Расход, м}^3 & \text{Жильцов, чел.} & \text{Расход, м}^3 \\ \hline 1 & 7{,}0 & 5 & 25{,}4 \\ \hline 2 & 9{,}7 & 3 & 14{,}0 \\ \hline 3 & 11{,}2 & 2 & 8{,}0 \\ \hline 3 & 0{,}0 & 2 & 10{,}3 \\ \hline 2 & 9{,}1 & 1 & 7{,}7 \\ \hline 4 & 16{,}0 & 1 & 5{,}8 \\ \hline 3 & 9{,}7 & 2 & 11{,}0 \\ \hline 3 & 14{,}9 & 3 & 11{,}5 \\ \hline 4 & 7{,}2 & 2 & 0{,}0 \\ \hline 6 & 33{,}2 & 2 & 9{,}4 \\ \hline \end{array}\]
Массив \(x\) — число жильцов (чел.), массив \(y\) — расход воды (м\(^3\)); силу связи измеряет \(\mathrm{r}_{x,\,y} = \dfrac{\mathrm{cov}(x,\ y)}{S_x S_y}\), ковариацию и стандартные отклонения берём из электронной таблицы (функции КОВАРИАЦИЯ.Г и КОРРЕЛ).
а) Все \(20\) наблюдений, суммы массивов равны \(54\) и \(221{,}1\):
\[\overline{x} = \frac{54}{20} = 2{,}7 \text{ чел.}, \qquad \overline{y} = \frac{221{,}1}{20} = 11{,}055 \text{ м}^3,\] \[\mathrm{cov}(x,\ y) = 7{,}0715, \qquad S_x \approx 1{,}2689, \qquad S_y \approx 7{,}3452,\] \[\mathrm{r}_{x,\,y} = \frac{7{,}0715}{1{,}2689 \cdot 7{,}3452} \approx 0{,}759.\]
б) Две квартиры с нулевым расходом удаляем: там за месяц наблюдений, по всей видимости, никто не жил, и эти строки связи не отражают. Остаётся \(18\) наблюдений, суммы равны \(49\) и \(221{,}1\) (сумма расходов не изменилась — удалённые значения нулевые):
\[\overline{x} = \frac{49}{18} \approx 2{,}722 \text{ чел.}, \qquad \overline{y} = \frac{221{,}1}{18} \approx 12{,}283 \text{ м}^3,\] \[\mathrm{cov}(x,\ y) \approx 7{,}5843, \qquad S_x \approx 1{,}3252, \qquad S_y \approx 6{,}6977,\] \[\mathrm{r}_{x,\,y} = \frac{7{,}5843}{1{,}3252 \cdot 6{,}6977} \approx 0{,}854.\]
Оба значения положительны и близки к единице, а после удаления двух квартир коэффициент вырос с \(0{,}759\) до \(0{,}854\). Предположение подтверждается: чем больше в квартире проживает людей, тем больше расход воды, связь положительная и сильная.
Проверка: оба коэффициента лежат между \(-1\) и \(1\).
Ответ: а) \(\mathrm{r}_{x,\,y} \approx 0{,}759\); б) после удаления двух квартир с нулевым расходом \(\mathrm{r}_{x,\,y} \approx 0{,}854\); предположение о наличии линейной связи подтверждается — связь между числом жильцов и расходом воды положительная и сильная, а по восемнадцати «жилым» квартирам ещё сильнее.
Данные случайной выборки из \(20\) квартир (г. Красноярск): число проживающих и общий расход воды за месяц. Пары напечатаны двумя ярусами по десять.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Жильцов, чел.} & \text{Расход, м}^3 & \text{Жильцов, чел.} & \text{Расход, м}^3 \\ \hline 1 & 7{,}0 & 5 & 25{,}4 \\ \hline 2 & 9{,}7 & 3 & 14{,}0 \\ \hline 3 & 11{,}2 & 2 & 8{,}0 \\ \hline 3 & 0{,}0 & 2 & 10{,}3 \\ \hline 2 & 9{,}1 & 1 & 7{,}7 \\ \hline 4 & 16{,}0 & 1 & 5{,}8 \\ \hline 3 & 9{,}7 & 2 & 11{,}0 \\ \hline 3 & 14{,}9 & 3 & 11{,}5 \\ \hline 4 & 7{,}2 & 2 & 0{,}0 \\ \hline 6 & 33{,}2 & 2 & 9{,}4 \\ \hline \end{array}\]
Массив \(x\) — число жильцов (чел.), массив \(y\) — расход воды (м\(^3\)). Сила линейной связи измеряется коэффициентом корреляции \(\mathrm{r}_{x,\,y} = \dfrac{\mathrm{cov}(x,\ y)}{S_x S_y}\); ковариацию и стандартные отклонения массивов находим в электронной таблице функциями КОВАРИАЦИЯ.Г и КОРРЕЛ.
а) Все \(20\) наблюдений. Суммы массивов равны \(54\) и \(221{,}1\), поэтому
\[\overline{x} = \frac{54}{20} = 2{,}7 \text{ чел.}, \qquad \overline{y} = \frac{221{,}1}{20} = 11{,}055 \text{ м}^3.\] \[\mathrm{cov}(x,\ y) = 7{,}0715, \qquad S_x \approx 1{,}2689, \qquad S_y \approx 7{,}3452,\] \[\mathrm{r}_{x,\,y} = \frac{7{,}0715}{1{,}2689 \cdot 7{,}3452} \approx 0{,}759.\]
б) Две квартиры, где расход нулевой, удаляем: в них за месяц наблюдений, по всей видимости, никто не жил, и связи между числом прописанных жильцов и расходом воды эти строки не отражают. Остаётся \(18\) наблюдений, суммы массивов становятся равны \(49\) и \(221{,}1\) (сумма расходов не изменилась — удалённые значения нулевые):
\[\overline{x} = \frac{49}{18} \approx 2{,}722 \text{ чел.}, \qquad \overline{y} = \frac{221{,}1}{18} \approx 12{,}283 \text{ м}^3.\] \[\mathrm{cov}(x,\ y) \approx 7{,}5843, \qquad S_x \approx 1{,}3252, \qquad S_y \approx 6{,}6977,\] \[\mathrm{r}_{x,\,y} = \frac{7{,}5843}{1{,}3252 \cdot 6{,}6977} \approx 0{,}854.\]
Оба значения положительны и близки к единице, причём после удаления двух квартир коэффициент вырос с \(0{,}759\) до \(0{,}854\). Значит, предположение подтверждается: чем больше в квартире проживает людей, тем больше расход воды, и линейная связь между этими массивами положительная и сильная.
Проверка: оба коэффициента лежат между \(-1\) и \(1\), как и должно быть.
Ответ: а) \(\mathrm{r}_{x,\,y} \approx 0{,}759\); б) после удаления двух квартир с нулевым расходом \(\mathrm{r}_{x,\,y} \approx 0{,}854\); предположение о наличии линейной связи подтверждается — связь между числом жильцов и расходом воды положительная и сильная, а по восемнадцати «жилым» квартирам ещё сильнее.
