Страница 280 номер 540, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Шестёрка — подъём на 1, прочие грани — спуск на 1, начальное состояние 0. Граней шесть, и они равновозможны, поэтому \[p = \frac{1}{6}, \qquad q = \frac{5}{6}, \qquad p - q = -\frac{2}{3}.\]
Число подъёмов за \(n\) шагов распределено биномиально с параметрами \(n\) и \(p\), откуда \(\mathrm{E}X_n = (p - q)n = -\frac{2}{3}n\) и \(\mathrm{D}X_n = 4npq\).
а) Процесс развивается вдоль прямой \(y = (p - q)x\), поэтому ось блуждания — прямая \(y = -\frac{2}{3}x\); наклон отрицательный, и блуждание смещено вниз.
б) \(2\sqrt{npq} = 2\sqrt{\frac{5n}{36}} = \frac{1}{3}\sqrt{5n}\) — стандартное отклонение состояния, на столько единиц блуждание в среднем отходит от своей оси вверх и вниз. Значит, размах описывается линиями \(y = -\frac{2}{3}x \pm \frac{1}{3}\sqrt{5x}\).
в) \(\mathrm{E}X_{60} = (p - q) \cdot 60 = -\frac{2}{3} \cdot 60 = -40\) — математическое ожидание состояния после 60 бросков кубика.
Ответ: а) \(y = -\frac{2}{3}x\); б) \(y = -\frac{2}{3}x \pm \frac{1}{3}\sqrt{5x}\); в) \(\mathrm{E}X_{60} = -40\).
Кубик бросают раз за разом: при шестёрке блуждание поднимается на 1, в прочих случаях опускается на 1; начальное состояние 0. У правильного кубика шесть равновозможных граней, поэтому
\[p = \frac{1}{6}, \qquad q = \frac{5}{6}, \qquad p - q = -\frac{2}{3}.\]
Пусть \(Y_n\) — число подъёмов за \(n\) шагов. Тогда спусков будет \(n - Y_n\), а состояние равно \(X_n = 2Y_n - n\). Число подъёмов имеет биномиальное распределение с параметрами \(n\) и \(p\), поэтому \(\mathrm{E}Y_n = np\) и \(\mathrm{D}Y_n = npq\). Отсюда
\[\mathrm{E}X_n = 2np - n = (p - q)n = -\frac{2}{3}n \quad\text{и}\quad \mathrm{D}X_n = 4npq.\]
а) Процесс развивается вдоль прямой \(y = (p - q)x\), поэтому ось блуждания — прямая \(y = -\frac{2}{3}x\). Блуждание смещено вниз, и это видно по знаку наклона.
б) Стандартное отклонение состояния равно \(2\sqrt{npq} = 2\sqrt{\frac{5n}{36}} = \frac{1}{3}\sqrt{5n}\) — на столько единиц блуждание в среднем отходит от своей оси вверх и вниз. Значит, размах описывается линиями \(y = (p - q)x \pm 2\sqrt{pqx}\), то есть линиями \(y = -\frac{2}{3}x \pm \frac{1}{3}\sqrt{5x}\).
в) Математическое ожидание состояния после \(n\) шагов равно \((p - q)n\), поэтому после 60 бросков кубика \(\mathrm{E}X_{60} = -\frac{2}{3} \cdot 60 = -40\).
Ответ: а) \(y = -\frac{2}{3}x\); б) \(y = -\frac{2}{3}x \pm \frac{1}{3}\sqrt{5x}\); в) \(\mathrm{E}X_{60} = -40\).
