Страница 261 номер 521, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Наблюдения \(X_1\), \(X_2\), …, \(X_n\) независимы, у каждого математическое ожидание \(m\) и дисперсия \(d\); \(\overline{X} = \dfrac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{n}\) — среднее арифметическое выборки, \(k\) — номер какого-то из наблюдений.
Числовой множитель \(\dfrac{1}{n}\) выносится за знак ковариации, а по распределительному закону ковариация \(X_k\) с любым другим наблюдением равна нулю — наблюдения независимы:
\[\mathrm{cov}(X_k,\ \overline{X}) = \frac{1}{n}\,\mathrm{cov}(X_k,\ X_1 + X_2 + \ldots + X_n) = \frac{1}{n}\,\mathrm{cov}(X_k,\ X_k) = \frac{\mathrm{D}X_k}{n} = \frac{d}{n}.\]
Ожидание \(m\) в ответ не вошло: ковариация зависит только от разброса наблюдений.
Ответ: \(\mathrm{cov}(X_k,\ \overline{X}) = \dfrac{d}{n}\).
В результате выборочного обследования получены наблюдения \(X_1\), \(X_2\), …, \(X_n\) — независимые случайные величины с одним и тем же математическим ожиданием \(m\) и одной и той же дисперсией \(d\). Величина \(\overline{X}\) — среднее арифметическое этих наблюдений:
\[\overline{X} = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{n}.\]
Нужна ковариация \(\mathrm{cov}(X_k,\ \overline{X})\), где \(k\) — номер какого-то из наблюдений.
Вынесем числовой множитель \(\dfrac{1}{n}\) за знак ковариации:
\[\mathrm{cov}(X_k,\ \overline{X}) = \frac{1}{n}\,\mathrm{cov}(X_k,\ X_1 + X_2 + \ldots + X_n).\]
По распределительному закону ковариация с суммой равна сумме ковариаций с каждым слагаемым. Наблюдения независимы, поэтому ковариация \(X_k\) с любым другим наблюдением равна нулю, и от всей суммы остаётся одно слагаемое — то, в котором стоит само \(X_k\):
\[\mathrm{cov}(X_k,\ \overline{X}) = \frac{1}{n}\,\mathrm{cov}(X_k,\ X_k) = \frac{\mathrm{D}X_k}{n} = \frac{d}{n}.\]
Математическое ожидание \(m\) в ответ не вошло: ковариация зависит только от разброса наблюдений, а не от того, около какого числа они группируются.
Ответ: \(\mathrm{cov}(X_k,\ \overline{X}) = \dfrac{d}{n}\).
