Вопросы после параграфа §23 на странице 221, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

Сумму \(n\) первых членов арифметической прогрессии \((a_n)\) обозначают \(S_n\). Если известны первый член \(a_1\) и последний член \(a_n\), то сумму находят по формуле

\(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n.\)

Полусумму первого и последнего членов умножают на число членов.

Формула получается так: сумму \(S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_{n-1} + a_n\) записывают ещё раз в обратном порядке и складывают оба равенства. В первой записи каждое следующее слагаемое получается из предыдущего прибавлением разности \(d\), а во второй — вычитанием \(d\), поэтому слагаемые, которые стоят в двух записях на одинаковых местах, дают в сумме одно и то же число \(a_1 + a_n\). Таких сумм в правой части \(n\), значит, \(2S_n = (a_1 + a_n) \cdot n\).

Например, если арифметическая прогрессия состоит из десяти членов, её первый член \(a_1 = 3\), а последний член \(a_{10} = 39\), то

\(S_{10} = \dfrac{3 + 39}{2} \cdot 10 = 21 \cdot 10 = 210.\)

Ответ: сумму находят по формуле \(S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\): полусумму первого и последнего членов умножают на число членов.

Если известны первый член \(a_1\) и разность \(d\) арифметической прогрессии, то сумму \(n\) первых её членов находят по формуле

\(S_n = \dfrac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n.\)

Эта формула получается из формулы \(S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\), если вместо \(a_n\) подставить выражение \(a_1 + d(n - 1)\). По ней сумму находят, не вычисляя \(n\)-й член.

Например, если \(a_1 = 3\), \(d = 4\) и \(n = 10\), то

\(\begin{aligned} &S_{10} = \dfrac{2 \cdot 3 + 4 \cdot (10 - 1)}{2} \cdot 10 = {} \\ &= \dfrac{6 + 36}{2} \cdot 10 = 21 \cdot 10 = 210. \end{aligned}\)

Ответ: сумму находят по формуле \(S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n\), где \(a_1\) — первый член, \(d\) — разность прогрессии, \(n\) — число членов.