Страница 218 номер 754, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

Если \(a,b,c\) - три последовательных члена арифметической прогрессии, то \(b = \frac{a + c}{2} \Rightarrow 2b = a + c\)

1) \(a^{2} + 8bc = (2b + c)^{2}\)

Преобразуем доказываемое равенство; все преобразования равносильны:

\(a^{2} + 8bc = 4b^{2} + 4bc + c^{2}\)
\(a^{2} = 4b^{2} - 4bc + c^{2}\)
\(a^{2} = (2b - c)^{2}\)
\(a^{2} = \left( 2 \cdot \dfrac{a + c}{2} - c \right)^{2}\)
\(a^{2} = (a + c - c)^{2}\)
\(a^{2} = a^{2}\)

Получили верное равенство, значит, верно и доказываемое.

2) \(\frac{2}{9}(a + b + c)^{3} = a^{2}(b + c) + b^{2}(a + c) + c^{2}(a + b)\)

Упростим левую часть

\(\dfrac{2}{9}(a + b + c)^{3} = \dfrac{2}{9}(2b + b)^{3} = \dfrac{2}{9} \cdot 27b^{3} = 6b^{3}\)

Упростим правую часть

\(a^{2}(b + c) + b^{2}(a + c) + c^{2}(a + b) =\)
\(= a^{2}\left( \dfrac{a + c}{2} + c \right) + b^{2} \cdot 2b + c^{2}\left( a + \dfrac{a + c}{2} \right) =\)
\(= \dfrac{a^{2}(a + 3c)}{2} + 2b^{3} + \dfrac{c^{2}(3a + c)}{2} =\)
\(= 2b^{3} + \dfrac{a^{3} + 3a^{2}c + 3ac^{2} + c^{3}}{2} = 2b^{3} + \dfrac{(a + c)^{3}}{2} =\)
\(= 2b^{3} + \dfrac{1}{2} \cdot 8b^{3} = 6b^{3}\)

Левая и правая части равны, т.е. тождество доказано.