Страница 217 номер 744, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

\(a_{n} = a_{n - 1} + d \Rightarrow d = a_{n} - a_{n - 1}\)

1) \(a_{n} = 6 + 7n\)
\(a_{n - 1} = 6 + 7(n - 1) = 6 + 7n - 7 = 7n - 1\)
\(d = 6 + 7n - 7n + 1 = 7\)
\(a_{1} = 6 + 7 \cdot 1 = 13\)

Разность является постоянным числом, т.е. последовательность является арифметической прогрессией.

2) \(a_{n} = \frac{2n - 1}{5}\)
\(a_{n - 1} = \dfrac{2(n - 1) - 1}{5} = \dfrac{2n - 2 - 1}{5} = \dfrac{2n - 3}{5}\)
\(d = \dfrac{2n - 1}{5} - \dfrac{2n - 3}{5} = \dfrac{2}{5}\)
\(a_{1} = \dfrac{2 \cdot 1 - 1}{5} = \dfrac{1}{5}\)

Разность является постоянным числом, т.е. последовательность является арифметической прогрессией.

3) \(a_{n} = \frac{1}{n} + 2\)
\(a_{n - 1} = \dfrac{1}{n - 1} + 2\)
\(d = \dfrac{1}{n} + 2 - \dfrac{1}{n - 1} - 2 = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n - 1} = \dfrac{n - 1 - n}{n(n - 1)} = - \dfrac{1}{n(n - 1)}\)

Разность прогрессии не является постоянным числом, т.е. последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: 1) да, \(d = 7;\ a_{1} = 13\); 2) да, \(d = \frac{2}{5};\ a_{1} = \frac{1}{5}\); 3) последовательность не является арифметической прогрессией.