Страница 218 номер 755, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
Докажите, что если положительные числа \(a\), \(b\) и \(c\) — три последовательных члена арифметической прогрессии, то \(\dfrac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \dfrac{1}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} = \dfrac{2}{\sqrt{a} + \sqrt{c}}.\)
Если \(a,b,c\) - три последовательных члена арифметической прогрессии, то \(b = \frac{a + c}{2}\)
Упростим тождество; знаменатели положительны, так как \(a,b,c\) положительны, поэтому все преобразования равносильны:
\(\dfrac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \dfrac{1}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} = \dfrac{2}{\sqrt{a} + \sqrt{c}}\)
\(\dfrac{\sqrt{b} + \sqrt{c} + \sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{ab} + b + \sqrt{ac} + \sqrt{bc}} = \dfrac{2}{\sqrt{a} + \sqrt{c}}\)
\(\dfrac{\sqrt{a} + 2\sqrt{b} + \sqrt{c}}{\sqrt{ab} + b + \sqrt{ac} + \sqrt{bc}} = \dfrac{2}{\sqrt{a} + \sqrt{c}}\)
\(\left( \sqrt{a} + 2\sqrt{b} + \sqrt{c} \right)\left( \sqrt{a} + \sqrt{c} \right) = 2\sqrt{ab} + 2b + 2\sqrt{ac} + 2\sqrt{bc}\)
\(a + \textcolor{green}{2\sqrt{ab}} + \textcolor{blue}{\sqrt{ac} + \sqrt{ac}} + \textcolor{red}{2\sqrt{bc}} + c = \textcolor{green}{2\sqrt{ab}} + 2b + \textcolor{blue}{2\sqrt{ac}} + \textcolor{red}{2\sqrt{bc}}\)
\(a + c = 2b\)
\(b = \dfrac{a + c}{2}\)
После упрощения тождества получили формулу среднего арифметического трех последовательных членов арифметической прогрессии, что говорит о том, что тождество верное, так как преобразования равносильны.
