Страница 217 номер 740, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

Первый член прогрессии \((a + b)^{2}\)

Второй член прогрессии \(a^{2} + b^{2}\)

Третий член прогрессии \((a - b)^{2}\)

Формула \(n\)-го члена прогрессии в зависимости от двух соседних членов

\(a_{n} = \dfrac{a_{n - 1} + a_{n + 1}}{2};\ a_{2} = \dfrac{a_{1} + a_{3}}{2}\)

Подставим члены прогрессии в формулу и докажем тождество.

\(a^{2} + b^{2} = \dfrac{(a + b)^{2} + (a - b)^{2}}{2}\)
\(a^{2} + b^{2} = \dfrac{a^{2} + 2ab + b^{2} + a^{2} - 2ab + b^{2}}{2}\)
\(a^{2} + b^{2} = \dfrac{2a^{2} + 2b^{2}}{2}\)
\(a^{2} + b^{2} = a^{2} + b^{2}\)

Тождество доказано, значит, \(a_{2} = \frac{a_{1} + a_{3}}{2}\), откуда \(a_{2} - a_{1} = a_{3} - a_{2}\) при любых \(a\) и \(b\).

Разность постоянна, т.е. значения выражений являются последовательными членами арифметической прогрессии.