Страница 103 номер 519, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каких значениях \(c\) уравнение \(x^2 + 10x + c = 0\) имеет два различных корня?
Старший коэффициент равен 1, поэтому при любом значении \(c\) уравнение квадратное.
Оно имеет два различных корня тогда и только тогда, когда \(D_1 > 0\).
\(k = \frac{10}{2} = 5\).
\[D_1 = 5^2 - 1 \cdot c = 25 - c.\]
\(25 - c > 0\), откуда \(c < 25\).
Проверка: при \(c = 25\) уравнение \(x^2 + 10x + 25 = 0\), то есть \((x + 5)^2 = 0\), имеет единственный корень \(-5\) — значение \(c = 25\) не подходит; при \(c = 24\) уравнение \(x^2 + 10x + 24 = 0\) имеет два корня: \(-6\) и \(-4\).
Ответ: при \(c < 25\).
При каких значениях \(c\) уравнение \(x^2 + 10x + c = 0\) имеет два различных корня?
Старший коэффициент уравнения равен 1, поэтому при любом значении \(c\) уравнение является квадратным. Коэффициент при \(x\) чётный: \(k = \frac{10}{2} = 5\). Квадратное уравнение с чётным коэффициентом при \(x\) имеет два различных корня тогда и только тогда, когда \(D_1 > 0\): при \(D_1 = 0\) корень единственный, а при \(D_1 < 0\) корней нет. Найдём \(D_1\): \[D_1 = 5^2 - 1 \cdot c = 25 - c.\] Условие \(D_1 > 0\) принимает вид \(25 - c > 0\), откуда \(c < 25\).
Проверка: при \(c = 25\) уравнение \(x^2 + 10x + 25 = 0\), то есть \((x + 5)^2 = 0\), имеет единственный корень \(-5\), поэтому значение \(c = 25\) не подходит; при \(c = 24\) уравнение \(x^2 + 10x + 24 = 0\) имеет два корня: \(-6\) и \(-4\).
Ответ: при \(c < 25\).
