Страница 100 номер 509, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

а) Раскроем скобки (смешанное число \(1\frac{3}{5}\) запишем десятичной дробью \(1{,}6\)), перенесём все слагаемые в левую часть уравнения, приведём подобные слагаемые и умножим обе части на 5, чтобы коэффициенты стали целыми: \[\begin{aligned} (2x - 3)(5x - 4) &= 2x - 1\frac{3}{5}; \\ 10x^2 - 8x - 15x + 12 &= 2x - 1{,}6; \\ 10x^2 - 23x + 12 - 2x + 1{,}6 &= 0; \\ 10x^2 - 25x + 13{,}6 &= 0; \qquad | \cdot 5 \\ 50x^2 - 125x + 68 &= 0. \end{aligned}\] Это уравнение является квадратным: \(a = 50\), \(b = -125\), \(c = 68\). Найдём его дискриминант: \[D = (-125)^2 - 4 \cdot 50 \cdot 68 = 15\,625 - 13\,600 = 2025.\] Поскольку дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня; \(\sqrt{2025} = 45\): \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{125 - 45}{2 \cdot 50} = \frac{80}{100} = 0{,}8; \\ x_2 &= \frac{125 + 45}{2 \cdot 50} = \frac{170}{100} = 1{,}7. \end{aligned}\]

б) В уравнении дважды встречается выражение \(4x - 7\). Пусть \(4x - 7 = t\). Тогда исходное уравнение принимает вид \[\begin{aligned} 3t^2 &= 8t; \\ 3t^2 - 8t &= 0; \\ t(3t - 8) &= 0. \end{aligned}\] Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(t = 0\) или \(3t - 8 = 0\), то есть \(t = 0\) или \(t = \frac{8}{3}\). Поскольку \(4x - 7 = t\), получаем, что \(4x - 7 = 0\) или \(4x - 7 = \frac{8}{3}\). Из первого уравнения \(4x = 7\), \(x = \frac{7}{4} = 1{,}75\). Из второго уравнения \(4x = 7 + \frac{8}{3} = \frac{29}{3}\), \(x = \frac{29}{3} : 4 = \frac{29}{12}\).

в) Умножим обе части уравнения на 30 — общий знаменатель дробей, перенесём все слагаемые в левую часть, приведём подобные слагаемые и умножим обе части на \(-1\): \[\begin{aligned} \frac{2}{3}x^2 - \frac{3}{10}x &= \frac{7}{10}x^2 + \frac{2}{3}; \qquad | \cdot 30 \\ 20x^2 - 9x &= 21x^2 + 20; \\ 20x^2 - 9x - 21x^2 - 20 &= 0; \\ -x^2 - 9x - 20 &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ x^2 + 9x + 20 &= 0. \end{aligned}\] Сумма чисел \(-5\) и \(-4\) равна \(-9\), а их произведение равно 20, поэтому по теореме, обратной теореме Виета, корнями уравнения \(x^2 + 9x + 20 = 0\) являются числа \(-5\) и \(-4\).

г) Уравнение \(x^4 + 7x^2 - 144 = 0\) биквадратное. Сделаем замену переменной \(x^2 = t\). Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому новая переменная может принимать только неотрицательные значения: \(t \geqslant 0\). Уравнение примет вид \[t^2 + 7t - 144 = 0.\] Найдём его дискриминант: \[D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-144) = 49 + 576 = 625.\] Поскольку дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня; \(\sqrt{625} = 25\): \[\begin{aligned} t_1 &= \frac{-7 - 25}{2} = -16; \\ t_2 &= \frac{-7 + 25}{2} = 9. \end{aligned}\] Значение \(t = -16\) не подходит, так как \(t = x^2 \geqslant 0\): уравнение \(x^2 = -16\) корней не имеет. Поскольку \(x^2 = t\), при \(t = 9\) получаем \(x^2 = 9\), откуда \(x = -3\) или \(x = 3\).

д) В уравнении встречаются выражения \((x - 1)^4 = \left((x - 1)^2\right)^2\) и \((x - 1)^2\). Пусть \((x - 1)^2 = t\). Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому новая переменная может принимать только неотрицательные значения: \(t \geqslant 0\). Уравнение примет вид \[t^2 - 5t + 4 = 0.\] Корнем этого уравнения является число 1: \(1^2 - 5 \cdot 1 + 4 = 0\). По теореме Виета произведение корней равно 4, поэтому второй корень равен 4. Оба значения \(t\) положительны. Поскольку \((x - 1)^2 = t\), получаем, что \((x - 1)^2 = 1\) или \((x - 1)^2 = 4\). Из первого уравнения \(x - 1 = -1\) или \(x - 1 = 1\), то есть \(x = 0\) или \(x = 2\). Из второго уравнения \(x - 1 = -2\) или \(x - 1 = 2\), то есть \(x = -1\) или \(x = 3\). Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня: \(-1\), \(0\), \(2\) и \(3\).

Ответ: а) \(0{,}8\); \(1{,}7\); б) \(1{,}75\); \(\frac{29}{12}\); в) \(-5\); \(-4\); г) \(-3\); \(3\); д) \(-1\); \(0\); \(2\); \(3\).