Страница 104 номер 532, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \(5x^2 - 0{,}2 = 0\); б) \(x^2 - (\sqrt{7} - 1)x - \sqrt{7} = 0\); в) \(2x^2 + 3x - 9 = 0\); г) \(4x + 12 - x^2 = 0\).
а) \[\begin{aligned} 5x^2 - 0{,}2 &= 0; \\ 5x^2 &= 0{,}2; \qquad | : 5 \\ x^2 &= 0{,}04. \end{aligned}\] \(0{,}04 = 0{,}2^2\), поэтому \(x = -0{,}2\) или \(x = 0{,}2\).
б) \(\sqrt{7} + (-1) = \sqrt{7} - 1\) — сумма чисел \(\sqrt{7}\) и \(-1\) равна коэффициенту при \(x\), взятому с противоположным знаком.
\(\sqrt{7} \cdot (-1) = -\sqrt{7}\) — их произведение равно свободному члену.
По теореме, обратной теореме Виета, числа \(-1\) и \(\sqrt{7}\) — корни уравнения, других корней у него нет.
в) Коэффициенты: \(a = 2\), \(b = 3\) и \(c = -9\). \[D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 9 + 72 = 81.\] Поскольку \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня; \(\sqrt{D} = 9\): \[\begin{aligned} x &= \frac{-3 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3; \\ x &= \frac{-3 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1{,}5. \end{aligned}\]
г) \[\begin{aligned} 4x + 12 - x^2 &= 0; \\ -x^2 + 4x + 12 &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ x^2 - 4x - 12 &= 0. \end{aligned}\] \(k = \frac{-4}{2} = -2\). \[D_1 = (-2)^2 - 1 \cdot (-12) = 4 + 12 = 16.\] Поскольку \(D_1 > 0\), уравнение имеет два различных корня; \(\sqrt{D_1} = 4\): \[\begin{aligned} x &= \frac{2 - 4}{1} = -2; \\ x &= \frac{2 + 4}{1} = 6. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(-0{,}2\); \(0{,}2\); б) \(-1\); \(\sqrt{7}\); в) \(-3\); \(1{,}5\); г) \(-2\); \(6\).
Решите уравнение: а) \(5x^2 - 0{,}2 = 0\); б) \(x^2 - (\sqrt{7} - 1)x - \sqrt{7} = 0\); в) \(2x^2 + 3x - 9 = 0\); г) \(4x + 12 - x^2 = 0\).
а) Перенесём число \(-0{,}2\) в правую часть уравнения и разделим обе части на 5: \[\begin{aligned} 5x^2 - 0{,}2 &= 0; \\ 5x^2 &= 0{,}2; \qquad | : 5 \\ x^2 &= 0{,}04. \end{aligned}\] Поскольку \(0{,}04 = 0{,}2^2\), получаем \(x = -0{,}2\) или \(x = 0{,}2\).
б) Если уравнение имеет корни, то их сумма равна \(\sqrt{7} - 1\), а произведение равно \(-\sqrt{7}\). Сумма \(\sqrt{7} - 1\) — это сумма чисел \(\sqrt{7}\) и \(-1\), поэтому проверим, не являются ли корнями эти числа. Их сумма равна \(\sqrt{7} + (-1) = \sqrt{7} - 1\), то есть коэффициенту при \(x\), взятому с противоположным знаком, а произведение равно \(\sqrt{7} \cdot (-1) = -\sqrt{7}\), то есть свободному члену. По теореме, обратной теореме Виета, числа \(-1\) и \(\sqrt{7}\) являются корнями уравнения, причём других корней у него нет.
в) Коэффициенты квадратного уравнения: \(a = 2\), \(b = 3\) и \(c = -9\). \[D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 9 + 72 = 81.\] Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два различных корня; \(\sqrt{D} = 9\): \[\begin{aligned} x &= \frac{-3 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3; \\ x &= \frac{-3 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1{,}5. \end{aligned}\]
г) Запишем слагаемые в порядке убывания степеней переменной и умножим обе части уравнения на \(-1\): \[\begin{aligned} 4x + 12 - x^2 &= 0; \\ -x^2 + 4x + 12 &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ x^2 - 4x - 12 &= 0. \end{aligned}\] Коэффициент при \(x\) чётный: \(k = \frac{-4}{2} = -2\). \[D_1 = (-2)^2 - 1 \cdot (-12) = 4 + 12 = 16.\] Поскольку \(D_1 > 0\), уравнение имеет два различных корня; \(\sqrt{D_1} = 4\): \[\begin{aligned} x &= \frac{2 - 4}{1} = -2; \\ x &= \frac{2 + 4}{1} = 6. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(-0{,}2\); \(0{,}2\); б) \(-1\); \(\sqrt{7}\); в) \(-3\); \(1{,}5\); г) \(-2\); \(6\).
