Страница 104 номер 531, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Дано уравнение \(x^2 - 10x + 3 = 0\). Не вычисляя корней \(x_1\) и \(x_2\) этого уравнения, найдите значение выражения \(x_1^2 + x_2^2\).
\[D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 100 - 12 = 88.\] Поскольку \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня \(x_1\) и \(x_2\). По теореме Виета \[\begin{aligned} x_1 + x_2 &= -(-10) = 10; \\ x_1x_2 &= 3. \end{aligned}\] Тогда \[x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 10^2 - 2 \cdot 3 = 100 - 6 = 94.\]
Ответ: 94.
Дано уравнение \(x^2 - 10x + 3 = 0\). Не вычисляя корней \(x_1\) и \(x_2\) этого уравнения, найдите значение выражения \(x_1^2 + x_2^2\).
Проверим, что уравнение имеет корни. Для этого вычислим его дискриминант: \[D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 100 - 12 = 88.\] Поскольку \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня \(x_1\) и \(x_2\). По теореме Виета \[\begin{aligned} x_1 + x_2 &= -(-10) = 10; \\ x_1x_2 &= 3. \end{aligned}\] По формуле квадрата суммы \((x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2\), откуда \(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2\). Подставим значения суммы и произведения корней: \[x_1^2 + x_2^2 = 10^2 - 2 \cdot 3 = 100 - 6 = 94.\]
Ответ: 94.
