Страница 105 номер 539, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите какие-нибудь три последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 770.
Пусть \(n\) — среднее из трёх последовательных целых чисел, тогда числа равны \(n - 1\), \(n\) и \(n + 1\), а сумма их квадратов равна 770: \[\begin{aligned} (n - 1)^2 + n^2 + (n + 1)^2 &= 770; \\ n^2 - 2n + 1 + n^2 + n^2 + 2n + 1 &= 770; \\ 3n^2 + 2 &= 770; \\ 3n^2 &= 768; \qquad | : 3 \\ n^2 &= 256. \end{aligned}\] \(256 = 16^2\), поэтому \(n = -16\) или \(n = 16\). Оба значения — целые числа, поэтому подходят обе тройки: при \(n = 16\) — числа 15, 16, 17, при \(n = -16\) — числа \(-17\), \(-16\), \(-15\).
Проверка: \(15^2 + 16^2 + 17^2 = 225 + 256 + 289 = 770\);
\((-17)^2 + (-16)^2 + (-15)^2 = 289 + 256 + 225 = 770\).
Ответ: 15, 16, 17 или \(-17\), \(-16\), \(-15\).
Найдите какие-нибудь три последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 770.
Пусть \(n\) — среднее из трёх последовательных целых чисел. Тогда эти числа равны \(n - 1\), \(n\) и \(n + 1\). Сумма их квадратов равна 770. Составим уравнение, раскроем скобки, приведём подобные слагаемые и разделим обе части на 3: \[\begin{aligned} (n - 1)^2 + n^2 + (n + 1)^2 &= 770; \\ n^2 - 2n + 1 + n^2 + n^2 + 2n + 1 &= 770; \\ 3n^2 + 2 &= 770; \\ 3n^2 &= 768; \qquad | : 3 \\ n^2 &= 256. \end{aligned}\] Поскольку \(256 = 16^2\), получаем \(n = -16\) или \(n = 16\). Оба значения — целые числа, поэтому подходят обе тройки: при \(n = 16\) — числа 15, 16, 17, при \(n = -16\) — числа \(-17\), \(-16\), \(-15\).
Проверка: \(15^2 + 16^2 + 17^2 = 225 + 256 + 289 = 770\) и \((-17)^2 + (-16)^2 + (-15)^2 = 289 + 256 + 225 = 770\).
Ответ: 15, 16, 17 или \(-17\), \(-16\), \(-15\).
