Контрольные вопросы и задания на странице 104, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Квадратное уравнение — это уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(x\) — переменная, \(a\), \(b\), \(c\) — числа, причём \(a \neq 0\). Числа \(a\), \(b\), \(c\) называются коэффициентами уравнения: \(a\) — старший коэффициент, \(c\) — свободный член. Условие \(a \neq 0\) существенно: при \(a = 0\) уравнение принимает вид \(bx + c = 0\) и квадратным не является. Коэффициенты \(b\) и \(c\) могут быть равны нулю; если хотя бы один из них равен нулю, квадратное уравнение называют неполным.

Примеры квадратных уравнений:

- \(2x^2 - 5x + 3 = 0\) — коэффициенты \(a = 2\), \(b = -5\), \(c = 3\);
- \(x^2 - 9 = 0\) — неполное квадратное уравнение: \(a = 1\), \(b = 0\), \(c = -9\);
- \(3x^2 + 7x = 0\) — неполное квадратное уравнение: \(a = 3\), \(b = 7\), \(c = 0\).

Уравнения \(2x - 1 = 0\) и \(x^3 - x = 0\) квадратными не являются: в первом нет слагаемого с \(x^2\), во втором есть слагаемое \(x^3\). Уравнение \((x - 1)(x + 3) = 5\) записано не в виде \(ax^2 + bx + c = 0\), но приводится к квадратному, если раскрыть скобки и перенести число 5 в левую часть: \[\begin{aligned} (x - 1)(x + 3) &= 5; \\ x^2 + 2x - 3 &= 5; \\ x^2 + 2x - 8 &= 0. \end{aligned}\]

Ответ: квадратным уравнением называется уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(x\) — переменная, \(a\), \(b\), \(c\) — числа и \(a \neq 0\); например, \(2x^2 - 5x + 3 = 0\), \(x^2 - 9 = 0\) и \(3x^2 + 7x = 0\).

Дискриминантом квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) (\(a \neq 0\)) называют число \(D = b^2 - 4ac\). Если умножить обе части уравнения на \(4a\), выделить в левой части полный квадрат и перенести остальные слагаемые в правую часть, уравнение примет вид \((2ax + b)^2 = D\). Поэтому число корней квадратного уравнения определяется знаком дискриминанта:

- если \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня; например, у уравнения \(2x^2 - 5x + 3 = 0\) дискриминант \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1\) положителен, и корней два;
- если \(D = 0\), уравнение имеет единственный корень \(x = -\frac{b}{2a}\); например, у уравнения \(x^2 - 6x + 9 = 0\) дискриминант \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0\), и корень один: \(x = 3\);
- если \(D < 0\), уравнение корней не имеет, так как квадрат числа не может быть отрицательным; например, у уравнения \(x^2 + x + 1 = 0\) дискриминант \(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3\) отрицателен, и корней нет.

Если коэффициент при \(x\) записан в виде \(b = 2k\), вместо \(D\) удобно вычислять \(D_1 = \frac{D}{4} = k^2 - ac\): знак у \(D_1\) тот же, что у \(D\). Например, у уравнения \(x^2 - 6x - 7 = 0\) число \(k = -3\) и \(D_1 = (-3)^2 - 1 \cdot (-7) = 9 + 7 = 16\), поэтому уравнение имеет два различных корня.

Ответ: дискриминантом квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) называют число \(D = b^2 - 4ac\); при \(D > 0\) уравнение имеет два различных корня, при \(D = 0\) — один корень, при \(D < 0\) корней не имеет; например, у уравнения \(2x^2 - 5x + 3 = 0\) дискриминант \(D = 1\).

Если дискриминант квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) неотрицателен, корни уравнения находят по формуле \[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}, \text{ где } D = b^2 - 4ac.\] При \(D > 0\) знаки «−» и «+» дают два различных корня, при \(D = 0\) оба знака дают один корень \(x = -\frac{b}{2a}\). При \(D < 0\) уравнение корней не имеет, и формулой пользоваться нельзя: выражение \(\sqrt{D}\) не имеет смысла.

Если коэффициент при \(x\) записан в виде \(b = 2k\) и \(D_1 \geqslant 0\), удобнее формула \[x = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}, \text{ где } D_1 = k^2 - ac.\]

Пример 1. Решим уравнение \(2x^2 - 5x + 3 = 0\). Здесь \(a = 2\), \(b = -5\), \(c = 3\) и \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1\), поэтому \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1; \\ x_2 &= \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1{,}5. \end{aligned}\]

Пример 2. Решим уравнение \(x^2 - 6x - 7 = 0\) по второй формуле. Здесь \(k = -3\) и \(D_1 = (-3)^2 - 1 \cdot (-7) = 16\), поэтому \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{3 - \sqrt{16}}{1} = 3 - 4 = -1; \\ x_2 &= \frac{3 + \sqrt{16}}{1} = 3 + 4 = 7. \end{aligned}\]

Ответ: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), где \(D = b^2 - 4ac \geqslant 0\) (при \(D < 0\) корней нет); если \(b = 2k\), то \(x = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}\), где \(D_1 = k^2 - ac \geqslant 0\); например, корни уравнения \(2x^2 - 5x + 3 = 0\) — числа \(1\) и \(1{,}5\).

Квадратным трёхчленом называют многочлен вида \(ax^2 + bx + c\), где \(x\) — переменная, \(a\), \(b\), \(c\) — числа и \(a \neq 0\); это левая часть квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\). Квадратными трёхчленами считают и многочлены, у которых \(b = 0\) или \(c = 0\): двучлены вида \(ax^2 + bx\) и \(ax^2 + c\) и одночлены вида \(ax^2\) при \(a \neq 0\), — с ними работают теми же способами.

Примеры квадратных трёхчленов:

- \(3x^2 - 7x + 2\) — коэффициенты \(a = 3\), \(b = -7\), \(c = 2\);
- \(5x^2 - 8x\) — коэффициенты \(a = 5\), \(b = -8\), \(c = 0\);
- \(x^2 - 7\) — коэффициенты \(a = 1\), \(b = 0\), \(c = -7\);
- \((2x - 1)(x + 3) = 2x^2 + 6x - x - 3 = 2x^2 + 5x - 3\) — после раскрытия скобок получился квадратный трёхчлен с коэффициентами \(a = 2\), \(b = 5\), \(c = -3\).

Многочлены \(2x + 3\) и \(x^3 + 1\) квадратными трёхчленами не являются: в первом нет слагаемого с \(x^2\), второй — многочлен третьей степени.

Ответ: квадратным трёхчленом называют многочлен вида \(ax^2 + bx + c\), где \(x\) — переменная, \(a\), \(b\), \(c\) — числа и \(a \neq 0\) (коэффициенты \(b\) и \(c\) могут быть равны нулю); например, \(3x^2 - 7x + 2\), \(5x^2 - 8x\) и \(x^2 - 7\).

Выделить квадрат двучлена — значит записать квадратный трёхчлен как сумму квадрата двучлена, умноженного на старший коэффициент, и числа. Для этого слагаемое с \(x\) записывают как удвоенное произведение \(x\) на некоторое число, а затем прибавляют и вычитают квадрат этого числа.

Пример 1. В трёхчлене \(x^2 - 8x + 5\) слагаемое \(-8x\) равно \(-2 \cdot 4 \cdot x\). Прибавим и вычтем \(4^2\): \[x^2 - 8x + 5 = (x^2 - 2 \cdot 4 \cdot x + 4^2) - 4^2 + 5 = (x - 4)^2 - 11.\] Проверка: \((x - 4)^2 - 11 = x^2 - 8x + 16 - 11 = x^2 - 8x + 5\).

Пример 2. Если старший коэффициент не равен 1, его выносят за скобки из первых двух слагаемых: \[\begin{aligned} &2x^2 + 12x + 5 = 2(x^2 + 6x) + 5 = {} \\ &= 2(x^2 + 2 \cdot 3 \cdot x + 3^2) - 2 \cdot 3^2 + 5 = 2(x + 3)^2 - 13. \end{aligned}\]

Ответ: например, \(x^2 - 8x + 5 = (x - 4)^2 - 11\) и \(2x^2 + 12x + 5 = 2(x + 3)^2 - 13\).

Линейным множителем называют выражение вида \(dx + e\), где \(d\) и \(e\) — числа и \(d \neq 0\). Чтобы разложить квадратный трёхчлен \(ax^2 + bx + c\) на линейные множители, находят дискриминант и корни уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\):

- если \(D > 0\) и \(x_1\), \(x_2\) — корни уравнения, то \(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\);
- если \(D = 0\) и \(x_0\) — единственный корень, то \(ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2\);
- если \(D < 0\), трёхчлен на линейные множители не раскладывается.

Пример к первому случаю: у трёхчлена \(3x^2 - 7x + 2\) дискриминант \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25\), корни соответствующего уравнения: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{7 - 5}{6} = \frac{1}{3}; \\ x_2 &= \frac{7 + 5}{6} = 2. \end{aligned}\] Значит, \(3x^2 - 7x + 2 = 3\left(x - \frac{1}{3}\right)(x - 2) = (3x - 1)(x - 2)\) — множитель 3 внесён в первую скобку. Проверка: \((3x - 1)(x - 2) = 3x^2 - 6x - x + 2 = 3x^2 - 7x + 2\).

Пример ко второму случаю: у трёхчлена \(4x^2 - 12x + 9\) дискриминант \(D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0\), единственный корень \(x_0 = \frac{12}{2 \cdot 4} = \frac{3}{2}\), поэтому \(4x^2 - 12x + 9 = 4\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 = (2x - 3)^2\).

Пример к третьему случаю: у трёхчлена \(x^2 + 2x + 5\) дискриминант \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16\) отрицателен, уравнение \(x^2 + 2x + 5 = 0\) корней не имеет, и трёхчлен на линейные множители не раскладывается.

Ответ: если уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) имеет два различных корня \(x_1\) и \(x_2\), то \(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\), а если единственный корень \(x_0\), то \(ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2\); например, \(3x^2 - 7x + 2 = (3x - 1)(x - 2)\) и \(4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2\), а трёхчлен \(x^2 + 2x + 5\) с отрицательным дискриминантом на линейные множители не раскладывается.

Квадратное уравнение называется приведённым, если его старший коэффициент равен 1: \(x^2 + px + q = 0\).

Теорема Виета: если приведённое квадратное уравнение \(x^2 + px + q = 0\) имеет корни \(x_1\) и \(x_2\), то \(x_1 + x_2 = -p\) и \(x_1x_2 = q\), то есть сумма корней равна коэффициенту при \(x\), взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Эти равенства получаются, если в разложении \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\) раскрыть скобки, \((x - x_1)(x - x_2) = x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2\), и сравнить коэффициенты. Если корень единственный, равенства верны, когда его считают дважды: у уравнения \(x^2 - 6x + 9 = 0\) единственный корень 3, и \(3 + 3 = 6\), \(3 \cdot 3 = 9\).

Пример: у уравнения \(x^2 - 7x + 10 = 0\) дискриминант \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 9\) положителен, корни \(x_1 = \frac{7 - 3}{2} = 2\) и \(x_2 = \frac{7 + 3}{2} = 5\). Их сумма \(2 + 5 = 7\) равна коэффициенту \(-7\) при \(x\), взятому с противоположным знаком, а произведение \(2 \cdot 5 = 10\) равно свободному члену.

Условие «уравнение имеет корни» обязательно: уравнение \(x^2 + x + 1 = 0\) корней не имеет (\(D = 1 - 4 = -3\)), и говорить о сумме его корней нельзя, хотя \(-p = -1\).

Ответ: если приведённое квадратное уравнение \(x^2 + px + q = 0\) имеет корни \(x_1\) и \(x_2\), то \(x_1 + x_2 = -p\) и \(x_1x_2 = q\); например, корни уравнения \(x^2 - 7x + 10 = 0\) — числа 2 и 5, \(2 + 5 = 7\) и \(2 \cdot 5 = 10\).