Темы исследовательских работ на странице 104, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Квадратные уравнения в трудах Диофанта.
План доклада:
1. Диофант и его время.
2. «Арифметика».
3. Обозначения Диофанта.
4. Задачи на сумму и произведение двух чисел.
5. Особенности решений Диофанта.
Презентация к докладу: «Квадратные уравнения в трудах Диофанта», 7 слайдов (.pptx)
Основное содержание.
1. Диофант и его время. Задачи, сводящиеся к квадратным уравнениям, решали ещё в Древнем Вавилоне во II тысячелетии до н. э., записывая правила словами. Диофант Александрийский — древнегреческий математик, живший, по-видимому, в III веке н. э. в Александрии; по преданию, из задачи-загадки на его надгробии следует, что он прожил 84 года.
2. «Арифметика». Главный труд Диофанта — «Арифметика» в 13 книгах (дошла часть), сборник задач на нахождение чисел. Условий часто меньше, чем неизвестных, и Диофант находит одно решение из бесконечно многих; уравнения, решения которых ищут в целых или рациональных числах, называют диофантовыми. Часть задач сводится к квадратным уравнениям.
3. Обозначения Диофанта. Неизвестное («аритмос» — «число») Диофант обозначал особым знаком, его квадрат («дюнамис») и куб («кюбос») — сокращениями этих слов; был и знак вычитания. Знак был только для одного неизвестного: задачи решались при конкретных числах, а несколько неизвестных выражались через одно.
4. Задачи на сумму и произведение двух чисел. Найти два числа, сумма которых равна 20, а произведение — 96. Диофант обозначает их \(10 + x\) и \(10 - x\): сумма равна 20 при любом \(x\), а произведение даёт уравнение \[\begin{aligned} (10 + x)(10 - x) &= 96; \\ 100 - x^2 &= 96; \\ x^2 &= 4. \end{aligned}\] Положительное значение \(x = 2\) даёт числа 12 и 8. Сейчас их находят как корни уравнения \(t^2 - 20t + 96 = 0\) по теореме, обратной теореме Виета: \(D_1 = 10^2 - 96 = 4\), \(t = 10 \pm 2\). Тем же приёмом решается задача при разности 4 и произведении 96: \((x + 2)(x - 2) = 96\), \(x^2 = 100\), и положительное значение \(x = 10\) снова даёт числа 12 и 8.
5. Особенности решений Диофанта. Ответом служили только положительные рациональные числа, а из двух положительных корней Диофант обычно указывал один. Поэтому в задаче о сумме и произведении он требует, чтобы квадрат полусуммы чисел превышал их произведение на квадрат: \(10^2 - 96 = 4 = 2^2\) — это \(D_1\) уравнения \(t^2 - 20t + 96 = 0\). При произведении 98 получилось бы иррациональное \(x\), а при произведении больше 100 решений нет. На полях «Арифметики» Пьер Ферма в XVII веке записал Великую теорему Ферма, доказанную только в конце XX века.
Резюме: Подводя итоги, можно сказать, что в «Арифметике» Диофанта квадратные уравнения возникают в задачах о числах. Диофант записывал уравнения с помощью сокращённых обозначений, умело выбирал неизвестное — например, обозначал искомые числа через \(10 + x\) и \(10 - x\) и сводил задачу к неполному квадратному уравнению — и принимал только положительные рациональные ответы. Его условие разрешимости задачи о сумме и произведении двух чисел означает, что \(D_1\) соответствующего квадратного уравнения — квадрат рационального числа, а связь суммы и произведения чисел с коэффициентами уравнения выражает теорема Виета.
Квадратные уравнения в трудах Диофанта.
План доклада:
1. Диофант и его время.
2. «Арифметика».
3. Обозначения Диофанта.
4. Задачи на сумму и произведение двух чисел.
5. Особенности решений Диофанта.
Презентация к докладу: «Квадратные уравнения в трудах Диофанта», 7 слайдов (.pptx)
Основное содержание.
1. Диофант и его время. Задачи, сводящиеся к квадратным уравнениям, решали ещё в Древнем Вавилоне во II тысячелетии до н. э.: правила решения записывали словами, для конкретных чисел. Диофант Александрийский — древнегреческий математик, живший, по-видимому, в III веке н. э. в Александрии, одном из главных научных центров античного мира. О его жизни почти ничего не известно. По преданию, на его надгробии была записана задача-загадка, из решения которой следует, что он прожил 84 года.
2. «Арифметика». Главный труд Диофанта — «Арифметика» в 13 книгах; до нас дошла только часть из них. Это сборник задач с решениями: в каждой требуется найти числа, удовлетворяющие условиям. Во многих задачах условий меньше, чем неизвестных, и решений бесконечно много; Диофант находит одно из них. Уравнения, решения которых ищут в целых или рациональных числах, сейчас называют диофантовыми. Часть задач «Арифметики» сводится к квадратным уравнениям.
3. Обозначения Диофанта. В «Арифметике» уравнения записаны не только словами. Неизвестное Диофант называл «числом» (по-гречески «аритмос») и обозначал особым знаком; квадрат неизвестного («дюнамис» — «степень») и его куб («кюбос») обозначались сокращениями этих слов, были обозначения и для следующих степеней. Для вычитания был особый знак: все вычитаемые слагаемые записывались после него. Числа греки записывали буквами алфавита. Знак был только для одного неизвестного, а для данных чисел обозначений не было: каждую задачу Диофант решал при конкретных числах, а если неизвестных было несколько, выражал их все через одно.
4. Задачи на сумму и произведение двух чисел. Одна из задач первой книги «Арифметики»: найти два числа, сумма которых равна 20, а произведение равно 96. Если бы числа были равны, каждое было бы равно 10. Поэтому Диофант считает, что одно число больше 10 на неизвестное число \(x\), а другое на столько же меньше: искомые числа равны \(10 + x\) и \(10 - x\). Их сумма равна 20 при любом \(x\), а условие на произведение даёт уравнение \[\begin{aligned} (10 + x)(10 - x) &= 96; \\ 100 - x^2 &= 96; \\ x^2 &= 4. \end{aligned}\] Диофант берёт положительное значение \(x = 2\), и искомые числа — 12 и 8: \(12 + 8 = 20\), \(12 \cdot 8 = 96\). Удачный выбор неизвестного привёл к неполному квадратному уравнению. Сейчас такую задачу решают по теореме, обратной теореме Виета: искомые числа — корни уравнения \(t^2 - 20t + 96 = 0\), у которого \(D_1 = 10^2 - 96 = 4\) и \(t = 10 \pm 2\).
Тем же приёмом решается задача, в которой вместо суммы дана разность чисел: при разности 4 и произведении 96 числа обозначают \(x + 2\) и \(x - 2\), тогда \((x + 2)(x - 2) = 96\), \(x^2 = 100\), и положительное значение \(x = 10\) снова даёт числа 12 и 8.
5. Особенности решений Диофанта. Ответом у Диофанта служили только положительные рациональные числа: отрицательные и иррациональные значения он отбрасывал, а если уравнение имело два положительных корня, обычно указывал один. Поэтому в задаче о сумме и произведении он ставит условие на данные: квадрат полусуммы чисел должен превышать их произведение на квадрат. Здесь \(10^2 - 96 = 4 = 2^2\), и это в точности \(D_1\) уравнения \(t^2 - 20t + 96 = 0\). При произведении 98 получилось бы \(x^2 = 2\) и иррациональное \(x\), а при произведении больше 100 решений нет вовсе. Каждая задача решена при конкретных числах, но приём решения общий и переносится на другие данные. «Арифметику» изучали и комментировали много веков. На полях своего экземпляра «Арифметики» Пьер Ферма в XVII веке записал утверждение, известное как Великая теорема Ферма; его доказали только в конце XX века.
Резюме: Подводя итоги, можно сказать, что в «Арифметике» Диофанта квадратные уравнения возникают в задачах о числах. Диофант записывал уравнения с помощью сокращённых обозначений, умело выбирал неизвестное — например, обозначал искомые числа через \(10 + x\) и \(10 - x\) и сводил задачу к неполному квадратному уравнению — и принимал только положительные рациональные ответы. Его условие разрешимости задачи о сумме и произведении двух чисел означает, что \(D_1\) соответствующего квадратного уравнения — квадрат рационального числа, а связь суммы и произведения чисел с коэффициентами уравнения выражает теорема Виета.
