Страница 98 номер 495, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Глава 3. Квадратные уравнения. §17. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Страница 98. Номер 495

Решение:

Все уравнения приведённые. По теореме Виета, если уравнение имеет корни, то их произведение равно свободному члену, а сумма — коэффициенту при \(x\) с противоположным знаком.

А) Свободный член отрицателен, поэтому дискриминант положителен и уравнение имеет два корня. Произведение корней равно \(-34 < 0\), значит, корни имеют разные знаки. Уравнению А соответствует утверждение 3).

Б) \[D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 121 - 60 = 61.\] Поскольку \(D > 0\), уравнение имеет два корня. Произведение корней равно \(15 > 0\), значит, корни одного знака. Сумма корней равна \(11 > 0\), значит, оба корня положительны. Уравнению Б соответствует утверждение 1).

В) Свободный член отрицателен, поэтому дискриминант положителен и уравнение имеет два корня. Произведение корней равно \(-15 < 0\), значит, корни имеют разные знаки. Уравнению В соответствует утверждение 3).

Г) \[D = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot 34 = 121 - 136 = -15.\] Поскольку \(D < 0\), уравнение не имеет корней. Уравнению Г соответствует утверждение 4).

Д) \[D = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 121 - 48 = 73.\] Поскольку \(D > 0\), уравнение имеет два корня. Произведение корней равно \(12 > 0\), значит, корни одного знака. Сумма корней равна \(-11 < 0\), значит, оба корня отрицательны. Уравнению Д соответствует утверждение 2).

Ответ: А — 3) корни уравнения имеют разные знаки; Б — 1) оба корня уравнения положительны; В — 3) корни уравнения имеют разные знаки; Г — 4) уравнение не имеет корней; Д — 2) оба корня уравнения отрицательны.

Решение:

Все уравнения приведённые. По теореме Виета, если приведённое квадратное уравнение имеет корни, то их произведение равно свободному члену, а сумма — коэффициенту при \(x\), взятому с противоположным знаком.

А) Свободный член уравнения \(x^2 - 11x - 34 = 0\) отрицателен, поэтому его дискриминант положителен и уравнение имеет два корня. Их произведение равно \(-34\), то есть отрицательно, значит, корни имеют разные знаки. Уравнению А соответствует утверждение 3).

Б) Свободный член уравнения \(x^2 - 11x + 15 = 0\) положителен, поэтому найдём дискриминант: \[D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 121 - 60 = 61.\] Поскольку \(D > 0\), уравнение имеет два корня. Их произведение равно 15, то есть положительно, значит, корни одного знака. Их сумма равна 11, то есть тоже положительна, значит, оба корня положительны. Уравнению Б соответствует утверждение 1).

В) Свободный член уравнения \(x^2 + 11x - 15 = 0\) отрицателен, поэтому его дискриминант положителен и уравнение имеет два корня. Их произведение равно \(-15\), то есть отрицательно, значит, корни имеют разные знаки. Уравнению В соответствует утверждение 3).

Г) Свободный член уравнения \(x^2 + 11x + 34 = 0\) положителен, поэтому найдём дискриминант: \[D = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot 34 = 121 - 136 = -15.\] Поскольку \(D < 0\), уравнение не имеет корней. Уравнению Г соответствует утверждение 4).

Д) Свободный член уравнения \(x^2 + 11x + 12 = 0\) положителен, поэтому найдём дискриминант: \[D = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 121 - 48 = 73.\] Поскольку \(D > 0\), уравнение имеет два корня. Их произведение равно 12, то есть положительно, значит, корни одного знака. Их сумма равна \(-11\), то есть отрицательна, значит, оба корня отрицательны. Уравнению Д соответствует утверждение 2).