Страница 105 номер 540, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Разложите многочлен на линейные множители: а) \(x^2 - 6x - 4 = 0\); б) \(x^4 - 50x^2 + 625\).
В пункте а) после многочлена напечатано „\(= 0\)“; раскладываем на множители многочлен \(x^2 - 6x - 4\).
а) Коэффициент при \(x\) чётный, \(k = -3\): \[D_1 = (-3)^2 - 1 \cdot (-4) = 9 + 4 = 13.\] \(D_1 > 0\) — два различных корня: \[\begin{aligned} x_1 &= 3 - \sqrt{13}; \\ x_2 &= 3 + \sqrt{13}. \end{aligned}\] По формуле \(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\): \[\begin{aligned} &x^2 - 6x - 4 = (x - (3 - \sqrt{13}))(x - (3 + \sqrt{13})) = {} \\ &= (x - 3 + \sqrt{13})(x - 3 - \sqrt{13}). \end{aligned}\] Проверка: \((x - 3 + \sqrt{13})(x - 3 - \sqrt{13}) = (x - 3)^2 - 13 = x^2 - 6x + 9 - 13 = x^2 - 6x - 4\).
б) Пусть \(x^2 = t\), тогда многочлен примет вид \(t^2 - 50t + 625\).
\(D_1 = (-25)^2 - 1 \cdot 625 = 0\) — единственный корень \(t_0 = 25\), поэтому \(t^2 - 50t + 625 = (t - 25)^2\).
Множитель \(x^2 - 25\) не линейный — раскладываем его по формуле разности квадратов:
\[\begin{aligned} &x^4 - 50x^2 + 625 = (x^2 - 25)^2 = {} \\ &= ((x - 5)(x + 5))^2 = (x - 5)^2(x + 5)^2. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(x^2 - 6x - 4 = (x - 3 + \sqrt{13})(x - 3 - \sqrt{13})\); б) \(x^4 - 50x^2 + 625 = (x - 5)^2(x + 5)^2\).
Разложите многочлен на линейные множители: а) \(x^2 - 6x - 4 = 0\); б) \(x^4 - 50x^2 + 625\).
В пункте а) после многочлена напечатано „\(= 0\)“; раскладываем на множители многочлен \(x^2 - 6x - 4\).
а) Коэффициент при \(x\) чётный, \(k = -3\). Найдём \(D_1\) соответствующего квадратного уравнения \(x^2 - 6x - 4 = 0\): \[D_1 = (-3)^2 - 1 \cdot (-4) = 9 + 4 = 13.\] Поскольку \(D_1 > 0\), уравнение имеет два различных корня: \[\begin{aligned} x_1 &= 3 - \sqrt{13}; \\ x_2 &= 3 + \sqrt{13}. \end{aligned}\] Воспользуемся формулой \(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\): \[\begin{aligned} &x^2 - 6x - 4 = (x - (3 - \sqrt{13}))(x - (3 + \sqrt{13})) = {} \\ &= (x - 3 + \sqrt{13})(x - 3 - \sqrt{13}). \end{aligned}\] Проверка: \((x - 3 + \sqrt{13})(x - 3 - \sqrt{13}) = (x - 3)^2 - 13 = x^2 - 6x + 9 - 13 = x^2 - 6x - 4\).
б) Обозначим \(x^2 = t\). Тогда многочлен принимает вид \(t^2 - 50t + 625\). Для соответствующего квадратного уравнения \(D_1 = (-25)^2 - 1 \cdot 625 = 0\), поэтому оно имеет единственный корень \(t_0 = 25\) и \(t^2 - 50t + 625 = (t - 25)^2\). Множитель \(x^2 - 25\) не линейный: его раскладываем по формуле разности квадратов. Значит, \[\begin{aligned} &x^4 - 50x^2 + 625 = (x^2 - 25)^2 = {} \\ &= ((x - 5)(x + 5))^2 = (x - 5)^2(x + 5)^2. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(x^2 - 6x - 4 = (x - 3 + \sqrt{13})(x - 3 - \sqrt{13})\); б) \(x^4 - 50x^2 + 625 = (x - 5)^2(x + 5)^2\).
