Страница 104 номер 533, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Надувная лодка стоила 8000 рублей. В летний сезон её стоимость увеличили на \(r\,\%\), в зимний сезон спрос упал, и стоимость понизили на \(r\,\%\). Новая стоимость составила 7820 рублей. Найдите \(r\).
Дано:
\(8000\) р. — начальная стоимость лодки
летом стоимость увеличили на \(r\,\%\)
зимой стоимость понизили на \(r\,\%\)
\(7820\) р. — новая стоимость лодки
Найти: \(r\).
Решение:
\(8000 \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right)\) (р.) — стоимость лодки летом.
Стоимость лодки зимой: \[\begin{aligned} &8000 \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right) \cdot \left(1 - \frac{r}{100}\right) = 8000 \cdot \left(1 - \left(\frac{r}{100}\right)^2\right) = {} \\ &= 8000 \cdot \left(1 - \frac{r^2}{10\,000}\right) = 8000 - 0{,}8r^2. \end{aligned}\] Новая стоимость лодки равна 7820 р.: \[\begin{aligned} 8000 - 0{,}8r^2 &= 7820; \\ 8000 - 7820 &= 0{,}8r^2; \\ 0{,}8r^2 &= 180; \qquad | : 0{,}8 \\ r^2 &= 225. \end{aligned}\] \(180 : 0{,}8 = 1800 : 8 = 225\).
\(225 = 15^2\), поэтому \(r = -15\) или \(r = 15\). Стоимость лодки увеличили на \(r\,\%\), поэтому число \(r\) положительно. Следовательно, \(r = 15\).
Проверка: летом \(8000 \cdot 1{,}15 = 9200\) (р.), зимой \(9200 \cdot 0{,}85 = 7820\) (р.), как и сказано в условии.
Ответ: \(r = 15\).
Надувная лодка стоила 8000 рублей. В летний сезон её стоимость увеличили на \(r\,\%\), в зимний сезон спрос упал, и стоимость понизили на \(r\,\%\). Новая стоимость составила 7820 рублей. Найдите \(r\).
Дано:
\(8000\) р. — начальная стоимость лодки
летом стоимость увеличили на \(r\,\%\)
зимой стоимость понизили на \(r\,\%\)
\(7820\) р. — новая стоимость лодки
Найти: \(r\).
Решение:
Увеличить стоимость на \(r\,\%\) — значит умножить её на \(1 + \frac{r}{100}\), поэтому летом лодка стоила \(8000 \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right)\) р. Понизить стоимость на \(r\,\%\) — значит умножить её на \(1 - \frac{r}{100}\), поэтому зимой лодка стала стоить \(8000 \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right) \cdot \left(1 - \frac{r}{100}\right)\) р. Преобразуем это выражение по формуле разности квадратов: \[\begin{aligned} &8000 \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right) \cdot \left(1 - \frac{r}{100}\right) = 8000 \cdot \left(1 - \left(\frac{r}{100}\right)^2\right) = {} \\ &= 8000 \cdot \left(1 - \frac{r^2}{10\,000}\right) = 8000 - 0{,}8r^2. \end{aligned}\] Новая стоимость лодки равна 7820 р. Составим уравнение, перенесём слагаемые и разделим обе части на \(0{,}8\): \[\begin{aligned} 8000 - 0{,}8r^2 &= 7820; \\ 8000 - 7820 &= 0{,}8r^2; \\ 0{,}8r^2 &= 180; \qquad | : 0{,}8 \\ r^2 &= 225. \end{aligned}\] Здесь \(180 : 0{,}8 = 1800 : 8 = 225\) — в делимом и делителе переносим запятую на одну цифру вправо; проверка: \(8 \cdot 225 = 1800\).
Поскольку \(225 = 15^2\), получаем \(r = -15\) или \(r = 15\). Стоимость лодки увеличили на \(r\,\%\), поэтому число \(r\) положительно. Следовательно, \(r = 15\).
Проверка: летом лодка стоила \(8000 \cdot 1{,}15 = 9200\) (р.), а зимой — \(9200 \cdot 0{,}85 = 7820\) (р.), как и сказано в условии.
Ответ: \(r = 15\).
