Страница 104 номер 534, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите все значения параметра \(m\), при каждом из которых уравнение \((m - 1)x^2 + 2mx + 3 + m = 0\) имеет единственный корень.
При \(m = 1\) старший коэффициент \(m - 1\) равен нулю и уравнение принимает вид \(2x + 4 = 0\); его единственный корень \(x = -2\), значит, значение \(m = 1\) подходит.
При \(m \ne 1\) уравнение квадратное и имеет единственный корень тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю.
Коэффициент при \(x\) равен \(2m\), поэтому \(k = m\).
\[D_1 = m^2 - (m - 1)(3 + m) = m^2 - (m^2 + 2m - 3) = 3 - 2m.\]
\(3 - 2m = 0\) только при \(m = 1{,}5\); это значение удовлетворяет условию \(m \ne 1\).
Проверка: при \(m = 1{,}5\) уравнение принимает вид \(0{,}5x^2 + 3x + 4{,}5 = 0\), после умножения обеих частей на 2 — \(x^2 + 6x + 9 = 0\), то есть \((x + 3)^2 = 0\); единственный корень \(x = -3\).
Ответ: при \(m = 1\); \(m = 1{,}5\).
Найдите все значения параметра \(m\), при каждом из которых уравнение \((m - 1)x^2 + 2mx + 3 + m = 0\) имеет единственный корень.
При \(m = 1\) старший коэффициент \(m - 1\) равен нулю и уравнение принимает вид \(2x + 4 = 0\). Это линейное уравнение имеет единственный корень \(x = -2\). Значит, значение \(m = 1\) подходит.
При \(m \ne 1\) исходное уравнение является квадратным. Значит, оно имеет единственный корень тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю. Коэффициент при \(x\) равен \(2m\), поэтому \(k = m\). Найдём \(D_1\): \[D_1 = m^2 - (m - 1)(3 + m) = m^2 - (m^2 + 2m - 3) = 3 - 2m.\] Выражение \(3 - 2m\) равно нулю только при \(m = 1{,}5\), причём это значение параметра удовлетворяет условию \(m \ne 1\).
Проверка: при \(m = 1{,}5\) уравнение принимает вид \(0{,}5x^2 + 3x + 4{,}5 = 0\). Умножив обе части на 2, получаем \(x^2 + 6x + 9 = 0\), то есть \((x + 3)^2 = 0\). Это уравнение имеет единственный корень \(x = -3\).
Ответ: при \(m = 1\); \(m = 1{,}5\).
