Темы исследовательских работ на странице 104, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Теорема Виета для уравнений третьей и четвёртой степеней.
План доклада:
1. Франсуа Виет и буквенная запись.
2. Теорема Виета для квадратного уравнения.
3. Уравнения третьей степени.
4. Уравнения четвёртой степени.
5. Обратная теорема и применения.
Презентация к докладу: «Теорема Виета для уравнений третьей и четвёртой степеней», 7 слайдов (.pptx)
Основное содержание.
1. Франсуа Виет и буквенная запись. Франсуа Виет (1540—1603) — французский математик, юрист, советник Генриха III и Генриха IV. Во «Введении в аналитическое искусство» (1591) он обозначил буквами и данные величины (неизвестные — гласными, данные — согласными), и связь корней с коэффициентами стало можно изучать для всех уравнений одного вида.
2. Теорема Виета для квадратного уравнения. Если уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) (\(a \neq 0\)) имеет корни \(x_1\) и \(x_2\), то при всех \(x\) верно \(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) = ax^2 - a(x_1 + x_2)x + ax_1x_2\), и сравнение коэффициентов даёт \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\), \(x_1x_2 = \frac{c}{a}\). Условие «корни есть» обязательно: уравнение \(x^2 + x + 1 = 0\) корней не имеет (\(D = -3\)), хотя \(-\frac{b}{a} = -1\).
3. Уравнения третьей степени. Если \(a \neq 0\) и при всех \(x\) верно \(ax^3 + bx^2 + cx + d = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)\), то \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) — все корни уравнения \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) (корень считают столько раз, сколько входит его множитель), и сравнение коэффициентов даёт \[\begin{aligned} x_1 + x_2 + x_3 &= -\frac{b}{a}, \\ x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 &= \frac{c}{a}, \\ x_1x_2x_3 &= -\frac{d}{a}. \end{aligned}\] Пример: \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3)\), и \(1 + 2 + 3 = 6\), \(1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3 = 11\), \(1 \cdot 2 \cdot 3 = 6\). Без разложения формулы неверны: \(x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)\), уравнение \(x^3 - 1 = 0\) имеет единственный корень 1, а \(-\frac{b}{a} = 0\).
4. Уравнения четвёртой степени. Если \(a \neq 0\) и \(ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)(x - x_4)\), то сумма корней равна \(-\frac{b}{a}\), сумма шести попарных произведений — \(\frac{c}{a}\), сумма четырёх произведений по три — \(-\frac{d}{a}\), произведение корней — \(\frac{e}{a}\). Пример: \(x^4 - 5x^2 + 4 = (x + 2)(x + 1)(x - 1)(x - 2)\), сумма корней \(-2 - 1 + 1 + 2 = 0\), произведение \((-2) \cdot (-1) \cdot 1 \cdot 2 = 4\).
5. Обратная теорема и применения. Если для чисел \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) выполнены три равенства Виета, то \(ax^3 + bx^2 + cx + d = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)\), и \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) — корни уравнения, других корней у него нет. Так решают симметричные системы: если \(x + y + z = 6\), \(xy + yz + zx = 11\) и \(xyz = 6\), то \(x\), \(y\), \(z\) — корни уравнения \(t^3 - 6t^2 + 11t - 6 = 0\), то есть числа 1, 2, 3 в некотором порядке: система имеет шесть решений.
Резюме: Таким образом, теорема Виета — следствие разложения многочлена на линейные множители: если многочлен третьей или четвёртой степени со старшим коэффициентом \(a\) равен произведению числа \(a\) и множителей \(x - x_1\), \(x - x_2\), …, то, раскрыв скобки и сравнив коэффициенты, получаем, что сумма корней равна \(-\frac{b}{a}\), сумма попарных произведений равна \(\frac{c}{a}\), дальше знаки чередуются, а произведение всех корней равно \(-\frac{d}{a}\) для уравнения третьей степени и \(\frac{e}{a}\) для уравнения четвёртой. Условие разложения обязательно: без него равенства неверны. Обратная теорема позволяет по сумме корней, сумме их попарных произведений и произведению составить уравнение и решать симметричные системы. Такие общие утверждения стали возможны благодаря буквенной записи данных величин, введённой Виетом.
Теорема Виета для уравнений третьей и четвёртой степеней.
План доклада:
1. Франсуа Виет и буквенная запись.
2. Теорема Виета для квадратного уравнения.
3. Уравнения третьей степени.
4. Уравнения четвёртой степени.
5. Обратная теорема и применения.
Презентация к докладу: «Теорема Виета для уравнений третьей и четвёртой степеней», 7 слайдов (.pptx)
Основное содержание.
1. Франсуа Виет и буквенная запись. Франсуа Виет (1540—1603) — французский математик, юрист по образованию, советник королей Генриха III и Генриха IV. В сочинении «Введение в аналитическое искусство» (1591) он стал обозначать буквами не только неизвестные, но и данные величины: неизвестные — гласными буквами, данные — согласными. Это позволило записывать решение сразу для всех уравнений одного вида и изучать, как корни уравнения связаны с его коэффициентами. Виет описал эту связь для положительных корней; в общем виде соотношения между корнями и коэффициентами были сформулированы в XVII веке.
2. Теорема Виета для квадратного уравнения. Если квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) (\(a \neq 0\)) имеет корни \(x_1\) и \(x_2\), то при всех \(x\) верно равенство \(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\). Раскроем скобки в правой части: \[a(x - x_1)(x - x_2) = ax^2 - a(x_1 + x_2)x + ax_1x_2.\] Многочлены, равные при всех значениях \(x\), имеют одинаковые коэффициенты (это известный факт). Поэтому \(b = -a(x_1 + x_2)\) и \(c = ax_1x_2\), то есть \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\) и \(x_1x_2 = \frac{c}{a}\). Условие «корни есть» обязательно: уравнение \(x^2 + x + 1 = 0\) корней не имеет (\(D = -3\)), хотя число \(-\frac{b}{a} = -1\) существует. Тот же путь — разложение на линейные множители, раскрытие скобок и сравнение коэффициентов — даёт теорему Виета для уравнений более высоких степеней.
3. Уравнения третьей степени. Пусть \(a \neq 0\) и при всех \(x\) верно равенство \(ax^3 + bx^2 + cx + d = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)\). Тогда числа \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) — корни уравнения \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) и других корней у него нет; если среди множителей есть одинаковые, корень считают столько раз, сколько раз входит его множитель. Так как \((x - x_1)(x - x_2) = x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2\), после умножения на \(x - x_3\) и приведения подобных слагаемых в многочлене \(a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)\) коэффициент при \(x^2\) равен \(-a(x_1 + x_2 + x_3)\), коэффициент при \(x\) равен \(a(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)\), а свободный член равен \(-ax_1x_2x_3\). Сравнив коэффициенты, получаем теорему Виета для уравнения третьей степени: \[\begin{aligned} x_1 + x_2 + x_3 &= -\frac{b}{a}, \\ x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 &= \frac{c}{a}, \\ x_1x_2x_3 &= -\frac{d}{a}. \end{aligned}\] Пример: \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3)\), корни 1, 2, 3, и \(1 + 2 + 3 = 6\), \(1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3 = 11\), \(1 \cdot 2 \cdot 3 = 6\). Пример с кратным корнем: \(x^3 - 3x + 2 = (x - 1)^2(x + 2)\), корни 1, 1, \(-2\), и \(1 + 1 - 2 = 0\), \(1 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) + 1 \cdot (-2) = -3\), \(1 \cdot 1 \cdot (-2) = -2\) — это в точности \(-\frac{b}{a}\), \(\frac{c}{a}\) и \(-\frac{d}{a}\). Без условия разложения формулы неверны: \(x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)\), у трёхчлена \(x^2 + x + 1\) корней нет, поэтому уравнение \(x^3 - 1 = 0\) имеет единственный корень 1, а \(-\frac{b}{a} = 0\).
4. Уравнения четвёртой степени. Так же доказывается: если \(a \neq 0\) и при всех \(x\) верно равенство \(ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)(x - x_4)\), то
- сумма корней равна \(-\frac{b}{a}\);
- сумма шести попарных произведений корней равна \(\frac{c}{a}\);
- сумма четырёх произведений корней по три равна \(-\frac{d}{a}\);
- произведение корней равно \(\frac{e}{a}\).
Пример — биквадратное уравнение \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\). Замена \(x^2 = t\) даёт \(t^2 - 5t + 4 = 0\), откуда \(t = 1\) или \(t = 4\); корни уравнения — числа \(-2\), \(-1\), \(1\), \(2\), и \(x^4 - 5x^2 + 4 = (x + 2)(x + 1)(x - 1)(x - 2)\). Здесь \(b = 0\), \(c = -5\), \(d = 0\), \(e = 4\). Проверим:
- сумма корней: \(-2 - 1 + 1 + 2 = 0\);
- попарные произведения: \((-2) \cdot (-1) + (-2) \cdot 1 + (-2) \cdot 2 + (-1) \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 1 \cdot 2 = -5\);
- произведения по три: \((-2) \cdot (-1) \cdot 1 + (-2) \cdot (-1) \cdot 2 + (-2) \cdot 1 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 \cdot 2 = 0\);
- произведение корней: \((-2) \cdot (-1) \cdot 1 \cdot 2 = 4\).
Без условия формулы снова неверны: \(x^4 - 5x^2 - 36 = (x^2 - 9)(x^2 + 4)\), корни уравнения \(x^4 - 5x^2 - 36 = 0\) — только \(-3\) и \(3\), их произведение равно \(-9\), а \(\frac{e}{a} = -36\).
5. Обратная теорема и применения. Верно и обратное: если для чисел \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) выполнены три равенства Виета, то раскрытие скобок показывает, что \(ax^3 + bx^2 + cx + d = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)\). Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда равен нулю один из множителей, поэтому \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) — корни уравнения и других корней у него нет. Так решают симметричные системы. Например, если \(x + y + z = 6\), \(xy + yz + zx = 11\) и \(xyz = 6\), то числа \(x\), \(y\), \(z\) — корни уравнения \(t^3 - 6t^2 + 11t - 6 = 0\). Его целые корни ищут среди делителей свободного члена, как у приведённого квадратного уравнения: если \(n\) — целый корень, то \(6 = n(n^2 - 6n + 11)\). Подстановка даёт корни 1, 2, 3: \(1 - 6 + 11 - 6 = 0\), \(8 - 24 + 22 - 6 = 0\), \(27 - 54 + 33 - 6 = 0\). Других корней, кроме \(x\), \(y\), \(z\), у этого уравнения нет, а числа 1, 2, 3 — его корни, поэтому \(x\), \(y\), \(z\) — это числа 1, 2, 3 в некотором порядке: система имеет шесть решений. Формулы Виета помогают и находить значения выражений с корнями: \(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (x_1 + x_2 + x_3)^2 - 2(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)\), и для уравнения \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0\) получаем \(6^2 - 2 \cdot 11 = 14\); действительно, \(1^2 + 2^2 + 3^2 = 14\).
Резюме: Таким образом, теорема Виета — следствие разложения многочлена на линейные множители: если многочлен третьей или четвёртой степени со старшим коэффициентом \(a\) равен произведению числа \(a\) и множителей \(x - x_1\), \(x - x_2\), …, то, раскрыв скобки и сравнив коэффициенты, получаем, что сумма корней равна \(-\frac{b}{a}\), сумма попарных произведений равна \(\frac{c}{a}\), дальше знаки чередуются, а произведение всех корней равно \(-\frac{d}{a}\) для уравнения третьей степени и \(\frac{e}{a}\) для уравнения четвёртой. Условие разложения обязательно: без него равенства неверны. Обратная теорема позволяет по сумме корней, сумме их попарных произведений и произведению составить уравнение и решать симметричные системы. Такие общие утверждения стали возможны благодаря буквенной записи данных величин, введённой Виетом.
