Страница 102 номер 515, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каких значениях \(m\) уравнение \(x^2 - 14x + m = 0\) имеет единственный корень?
Старший коэффициент равен 1, поэтому при любом значении \(m\) уравнение квадратное.
Оно имеет единственный корень тогда и только тогда, когда \(D_1 = 0\).
\(k = \frac{-14}{2} = -7\).
\[D_1 = (-7)^2 - 1 \cdot m = 49 - m.\]
\(49 - m = 0\), откуда \(m = 49\).
Проверка: при \(m = 49\) уравнение \(x^2 - 14x + 49 = 0\), то есть \((x - 7)^2 = 0\), имеет единственный корень \(x = 7\).
Ответ: при \(m = 49\).
При каких значениях \(m\) уравнение \(x^2 - 14x + m = 0\) имеет единственный корень?
Старший коэффициент уравнения равен 1, поэтому при любом значении \(m\) уравнение является квадратным. Коэффициент при \(x\) чётный: \(k = \frac{-14}{2} = -7\). Квадратное уравнение с чётным коэффициентом при \(x\) имеет единственный корень тогда и только тогда, когда \(D_1 = 0\): при \(D_1 > 0\) корней два, а при \(D_1 < 0\) корней нет. Найдём \(D_1\): \[D_1 = (-7)^2 - 1 \cdot m = 49 - m.\] Приравняв это выражение к нулю, получаем \(49 - m = 0\), откуда \(m = 49\).
Проверка: при \(m = 49\) уравнение принимает вид \(x^2 - 14x + 49 = 0\), то есть \((x - 7)^2 = 0\), и имеет единственный корень \(x = 7\).
Ответ: при \(m = 49\).
