Страница 98 номер 501, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите систему неравенств: а) \(\begin{cases}7 < 3x, \\ 5 - 2x > 0;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}4x + 7 \ge -5, \\ x - 6 < -2.\end{cases}\)
а) Первое неравенство запишем в виде \(3x > 7\): \[\begin{aligned} 3x &> 7; \qquad | : 3 \\ x &> \frac{7}{3}. \end{aligned}\] Во втором неравенстве при делении на отрицательное число \(-2\) знак неравенства меняется на противоположный: \[\begin{aligned} 5 - 2x &> 0; \\ -2x &> -5; \qquad | : (-2) \\ x &< 2{,}5. \end{aligned}\] \(\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}\), \(2{,}5 = 2\frac{1}{2}\) и \(\frac{1}{3} < \frac{1}{2}\), поэтому \(\frac{7}{3} < 2{,}5\).
Множества решений неравенств — промежутки \(\left(\frac{7}{3}; +\infty\right)\) и \((-\infty; 2{,}5)\).
Пересечение промежутков: \(\frac{7}{3} < x < 2{,}5\). Оба неравенства строгие, поэтому ни число \(\frac{7}{3}\), ни число \(2{,}5\) в множество решений не входят. Значит, множеством решений системы является интервал \(\left(\frac{7}{3}; 2{,}5\right)\).
б) \[\begin{aligned} 4x + 7 &\geqslant -5; \\ 4x &\geqslant -12; \qquad | : 4 \\ x &\geqslant -3. \\ x - 6 &< -2; \\ x &< 4. \end{aligned}\] Множества решений неравенств — промежутки \([-3; +\infty)\) и \((-\infty; 4)\).
Пересечение промежутков: \(-3 \leqslant x < 4\). Неравенство \(x \geqslant -3\) нестрогое, поэтому число \(-3\) входит в множество решений. Неравенство \(x < 4\) строгое, поэтому число 4 не входит. Значит, множеством решений системы является полуинтервал \([-3; 4)\).
Ответ: а) \(\left(\frac{7}{3}; 2{,}5\right)\); б) \([-3; 4)\).
Решите систему неравенств: а) \(\begin{cases}7 < 3x, \\ 5 - 2x > 0;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}4x + 7 \ge -5, \\ x - 6 < -2.\end{cases}\)
а) Решим первое неравенство: запишем его в виде \(3x > 7\) и разделим обе части на положительное число 3: \[\begin{aligned} 3x &> 7; \qquad | : 3 \\ x &> \frac{7}{3}. \end{aligned}\] Решим второе неравенство: перенесём слагаемое 5 в правую часть с противоположным знаком и разделим обе части на отрицательное число \(-2\), изменив знак неравенства на противоположный: \[\begin{aligned} 5 - 2x &> 0; \\ -2x &> -5; \qquad | : (-2) \\ x &< 2{,}5. \end{aligned}\] Сравним концы промежутков: \(\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}\), \(2{,}5 = 2\frac{1}{2}\) и \(\frac{1}{3} < \frac{1}{2}\), поэтому \(\frac{7}{3} < 2{,}5\). Изобразим промежутки \(\left(\frac{7}{3}; +\infty\right)\) и \((-\infty; 2{,}5)\) на одной числовой прямой и найдём их пересечение:
Пересечение состоит из чисел, которые удовлетворяют обоим неравенствам, то есть \(\frac{7}{3} < x < 2{,}5\). Оба неравенства строгие, поэтому ни число \(\frac{7}{3}\), ни число \(2{,}5\) в множество решений не входят. Значит, множеством решений системы является интервал \(\left(\frac{7}{3}; 2{,}5\right)\).
б) Решим первое неравенство: перенесём слагаемое 7 в правую часть с противоположным знаком и разделим обе части на положительное число 4: \[\begin{aligned} 4x + 7 &\geqslant -5; \\ 4x &\geqslant -12; \qquad | : 4 \\ x &\geqslant -3. \end{aligned}\] Решим второе неравенство, перенеся слагаемое \(-6\) в правую часть с противоположным знаком: \[\begin{aligned} x - 6 &< -2; \\ x &< 4. \end{aligned}\] Изобразим промежутки \([-3; +\infty)\) и \((-\infty; 4)\) на одной числовой прямой и найдём их пересечение:
Пересечение состоит из чисел, которые удовлетворяют обоим неравенствам, то есть \(-3 \leqslant x < 4\). Левый конец — число \(-3\) из первого неравенства; неравенство \(x \geqslant -3\) нестрогое, поэтому число \(-3\) входит в множество решений. Правый конец — число 4 из второго неравенства; неравенство \(x < 4\) строгое, поэтому число 4 не входит. Значит, множеством решений системы является полуинтервал \([-3; 4)\).
Ответ: а) \(\left(\frac{7}{3}; 2{,}5\right)\); б) \([-3; 4)\).
