Страница 103 номер 521, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \((x + 3)(x - 12) = -50\); б) \(\frac{1}{8}x^2 + 3x = 0\); в) \(25x^2 - 16 = 0\); г) \(3x^2 + 27 = 0\).
а) \[\begin{aligned} (x + 3)(x - 12) &= -50; \\ x^2 - 12x + 3x - 36 + 50 &= 0; \\ x^2 - 9x + 14 &= 0. \end{aligned}\] Коэффициенты: \(a = 1\), \(b = -9\) и \(c = 14\). \[D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 - 56 = 25.\] Поскольку \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня; \(\sqrt{D} = 5\): \[\begin{aligned} x &= \frac{9 - 5}{2} = 2; \\ x &= \frac{9 + 5}{2} = 7. \end{aligned}\]
б) \[\begin{aligned} \frac{1}{8}x^2 + 3x &= 0; \qquad | \cdot 8 \\ x^2 + 24x &= 0; \\ x(x + 24) &= 0. \end{aligned}\] \(x = 0\) или \(x + 24 = 0\), то есть \(x = 0\) или \(x = -24\).
в) \[\begin{aligned} 25x^2 - 16 &= 0; \\ (5x - 4)(5x + 4) &= 0; \\ 5x - 4 &= 0 \text{ или } 5x + 4 = 0; \\ x &= 0{,}8 \text{ или } x = -0{,}8. \end{aligned}\]
г) \[\begin{aligned} 3x^2 + 27 &= 0; \\ 3x^2 &= -27; \qquad | : 3 \\ x^2 &= -9. \end{aligned}\] Квадрат любого числа неотрицателен, а число \(-9\) отрицательно, поэтому уравнение не имеет решений.
Ответ: а) \(2\); \(7\); б) \(-24\); \(0\); в) \(-0{,}8\); \(0{,}8\); г) решений нет.
Решите уравнение: а) \((x + 3)(x - 12) = -50\); б) \(\frac{1}{8}x^2 + 3x = 0\); в) \(25x^2 - 16 = 0\); г) \(3x^2 + 27 = 0\).
а) Раскроем скобки, перенесём все слагаемые в левую часть уравнения и приведём подобные слагаемые: \[\begin{aligned} (x + 3)(x - 12) &= -50; \\ x^2 - 12x + 3x - 36 + 50 &= 0; \\ x^2 - 9x + 14 &= 0. \end{aligned}\] Коэффициенты квадратного уравнения: \(a = 1\), \(b = -9\) и \(c = 14\). \[D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 - 56 = 25.\] Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два различных корня; \(\sqrt{D} = 5\): \[\begin{aligned} x &= \frac{9 - 5}{2} = 2; \\ x &= \frac{9 + 5}{2} = 7. \end{aligned}\]
б) Умножим обе части уравнения на 8 и вынесем \(x\) за скобки: \[\begin{aligned} \frac{1}{8}x^2 + 3x &= 0; \qquad | \cdot 8 \\ x^2 + 24x &= 0; \\ x(x + 24) &= 0. \end{aligned}\] Следовательно, \(x = 0\) или \(x + 24 = 0\), то есть \(x = 0\) или \(x = -24\).
в) Заметим, что \(25x^2 = (5x)^2\) и \(16 = 4^2\). Тогда: \[\begin{aligned} 25x^2 - 16 &= 0; \\ (5x - 4)(5x + 4) &= 0; \\ 5x - 4 &= 0 \text{ или } 5x + 4 = 0; \\ x &= 0{,}8 \text{ или } x = -0{,}8. \end{aligned}\]
г) Перенесём число 27 в правую часть уравнения и разделим обе части на 3: \[\begin{aligned} 3x^2 + 27 &= 0; \\ 3x^2 &= -27; \qquad | : 3 \\ x^2 &= -9. \end{aligned}\] Квадрат любого числа неотрицателен, а число \(-9\) отрицательно, поэтому уравнение \(x^2 = -9\) не имеет решений.
Ответ: а) \(2\); \(7\); б) \(-24\); \(0\); в) \(-0{,}8\); \(0{,}8\); г) решений нет.
