Страница 99 номер 504, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите систему неравенств: а) \(\begin{cases}2x + 6 < 0, \\ -3x + 2 \le -4;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}x + 3 \ge -4x - 2, \\ -10 + 9x < -1 + 6x.\end{cases}\)
а) \[\begin{aligned} 2x + 6 &< 0; \\ 2x &< -6; \qquad | : 2 \\ x &< -3. \end{aligned}\] Во втором неравенстве при делении на отрицательное число \(-3\) знак неравенства меняется на противоположный: \[\begin{aligned} -3x + 2 &\leqslant -4; \\ -3x &\leqslant -6; \qquad | : (-3) \\ x &\geqslant 2. \end{aligned}\] Множества решений неравенств — лучи \((-\infty; -3)\) и \([2; +\infty)\).
Все решения второго неравенства больше \(-3\): если \(x \geqslant 2\) и \(2 > -3\), то \(x > -3\). Все решения первого неравенства меньше \(-3\). Поэтому у лучей нет общих точек, и система не имеет решений.
б) \[\begin{aligned} x + 3 &\geqslant -4x - 2; \\ x + 4x &\geqslant -2 - 3; \\ 5x &\geqslant -5; \qquad | : 5 \\ x &\geqslant -1. \\ -10 + 9x &< -1 + 6x; \\ 9x - 6x &< -1 + 10; \\ 3x &< 9; \qquad | : 3 \\ x &< 3. \end{aligned}\] Множества решений неравенств — промежутки \([-1; +\infty)\) и \((-\infty; 3)\).
Пересечение промежутков: \(-1 \leqslant x < 3\). Неравенство \(x \geqslant -1\) нестрогое, поэтому число \(-1\) входит в множество решений. Неравенство \(x < 3\) строгое, поэтому число 3 не входит. Значит, множеством решений системы является полуинтервал \([-1; 3)\).
Ответ: а) решений нет; б) \([-1; 3)\).
Решите систему неравенств: а) \(\begin{cases}2x + 6 < 0, \\ -3x + 2 \le -4;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}x + 3 \ge -4x - 2, \\ -10 + 9x < -1 + 6x.\end{cases}\)
а) Решим первое неравенство: перенесём слагаемое 6 в правую часть с противоположным знаком и разделим обе части на положительное число 2: \[\begin{aligned} 2x + 6 &< 0; \\ 2x &< -6; \qquad | : 2 \\ x &< -3. \end{aligned}\] Решим второе неравенство: перенесём слагаемое 2 в правую часть с противоположным знаком и разделим обе части на отрицательное число \(-3\), изменив знак неравенства на противоположный: \[\begin{aligned} -3x + 2 &\leqslant -4; \\ -3x &\leqslant -6; \qquad | : (-3) \\ x &\geqslant 2. \end{aligned}\] Множеством решений первого неравенства является луч \((-\infty; -3)\), а множеством решений второго неравенства — луч \([2; +\infty)\). Все решения второго неравенства больше \(-3\): если \(x \geqslant 2\) и \(2 > -3\), то \(x > -3\). А все решения первого неравенства меньше \(-3\). Ни одно число не может быть одновременно больше \(-3\) и меньше \(-3\), поэтому у этих лучей нет общих точек. Следовательно, система не имеет решений.
б) Решим первое неравенство: перенесём слагаемое \(-4x\) в левую часть, а слагаемое 3 — в правую с противоположными знаками, приведём подобные слагаемые и разделим обе части на положительное число 5: \[\begin{aligned} x + 3 &\geqslant -4x - 2; \\ x + 4x &\geqslant -2 - 3; \\ 5x &\geqslant -5; \qquad | : 5 \\ x &\geqslant -1. \end{aligned}\] Решим второе неравенство: перенесём слагаемое \(6x\) в левую часть, а слагаемое \(-10\) — в правую с противоположными знаками, приведём подобные слагаемые и разделим обе части на положительное число 3: \[\begin{aligned} -10 + 9x &< -1 + 6x; \\ 9x - 6x &< -1 + 10; \\ 3x &< 9; \qquad | : 3 \\ x &< 3. \end{aligned}\] Изобразим промежутки \([-1; +\infty)\) и \((-\infty; 3)\) на одной числовой прямой и найдём их пересечение:
Пересечение состоит из чисел, которые удовлетворяют обоим неравенствам, то есть \(-1 \leqslant x < 3\). Левый конец — число \(-1\) из первого неравенства; неравенство \(x \geqslant -1\) нестрогое, поэтому число \(-1\) входит в множество решений. Правый конец — число 3 из второго неравенства; неравенство \(x < 3\) строгое, поэтому число 3 не входит. Значит, множеством решений системы является полуинтервал \([-1; 3)\).
Ответ: а) решений нет; б) \([-1; 3)\).
