Страница 103 номер 529, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите координаты точки, через которую проходят графики всех функций вида \(y = (5m + 2)x + 4m - 2\), где \(m\) — параметр.
\[\begin{aligned} &y = (5m + 2)x + 4m - 2 = {} \\ &= 5mx + 4m + 2x - 2 = m(5x + 4) + 2x - 2. \end{aligned}\]
\(5x + 4 = 0\) при \(x = -0{,}8\).
При \(x = -0{,}8\) и любом значении \(m\) получаем \(y = m \cdot 0 + 2 \cdot (-0{,}8) - 2 = -1{,}6 - 2 = -3{,}6\), поэтому график каждой функции проходит через точку \((-0{,}8; -3{,}6)\).
Другой общей точки нет. При \(m = 0\) получаем функцию \(y = 2x - 2\), при \(m = 1\) — функцию \(y = 7x + 2\); абсцисса общей точки их графиков — корень уравнения \(2x - 2 = 7x + 2\), откуда \(-5x = 4\) и \(x = -0{,}8\), а ордината равна \(2 \cdot (-0{,}8) - 2 = -3{,}6\).
Ответ: \((-0{,}8; -3{,}6)\).
Найдите координаты точки, через которую проходят графики всех функций вида \(y = (5m + 2)x + 4m - 2\), где \(m\) — параметр.
Раскроем скобки, сгруппируем слагаемые, содержащие параметр \(m\), и вынесем \(m\) за скобки: \[\begin{aligned} &y = (5m + 2)x + 4m - 2 = {} \\ &= 5mx + 4m + 2x - 2 = m(5x + 4) + 2x - 2. \end{aligned}\] Множитель \(5x + 4\) равен нулю при \(x = -0{,}8\). При этом значении \(x\) и любом значении \(m\) получаем \(y = m \cdot 0 + 2 \cdot (-0{,}8) - 2 = -1{,}6 - 2 = -3{,}6\). Значит, график каждой функции вида \(y = (5m + 2)x + 4m - 2\) проходит через точку \((-0{,}8; -3{,}6)\).
Другой общей точки у этих графиков нет. При \(m = 0\) получаем функцию \(y = 2x - 2\), а при \(m = 1\) — функцию \(y = 7x + 2\). Общая точка всех графиков лежит на графиках обеих этих функций, поэтому её абсцисса удовлетворяет уравнению \(2x - 2 = 7x + 2\), откуда \(-5x = 4\) и \(x = -0{,}8\), а ордината равна \(2 \cdot (-0{,}8) - 2 = -3{,}6\).
Ответ: \((-0{,}8; -3{,}6)\).
