Страница 104 номер 530, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
А) \(D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12\) — дискриминант отрицателен, значит, уравнение не имеет корней. Подходит утверждение 4).
Б) \(D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 100 - 84 = 16\) — дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два корня.
Произведение корней 21 положительно, поэтому корни одного знака; их сумма \(-10\) отрицательна, поэтому оба корня отрицательны. Подходит утверждение 2).
В) \(D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25\) — дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два корня.
Произведение корней 24 положительно, поэтому корни одного знака; их сумма 11 положительна, поэтому оба корня положительны. Подходит утверждение 1).
Г) \(D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 196 - 160 = 36\) — дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два корня.
Произведение корней 40 положительно, поэтому корни одного знака; их сумма \(-14\) отрицательна, поэтому оба корня отрицательны. Подходит утверждение 2).
Д) \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-22) = 81 + 88 = 169\) — дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два корня.
Произведение корней \(-22\) отрицательно, поэтому корни имеют разные знаки. Подходит утверждение 3).
Ответ: А — 4) уравнение не имеет корней; Б — 2) оба корня уравнения отрицательны; В — 1) оба корня уравнения положительны; Г — 2) оба корня уравнения отрицательны; Д — 3) корни уравнения имеют разные знаки.
Все уравнения приведённые, вида \(x^2 + px + q = 0\). Если такое уравнение имеет корни, то по теореме Виета их произведение равно \(q\), а сумма равна \(-p\). Поэтому для каждого уравнения выясним, есть ли у него корни, а знаки корней определим по знакам их произведения и суммы.
А) \(x^2 - 2x + 4 = 0\). Дискриминант \(D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12\) отрицателен, значит, уравнение не имеет корней. Подходит утверждение 4).
Б) \(x^2 + 10x + 21 = 0\). Дискриминант \(D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 100 - 84 = 16\) положителен, значит, уравнение имеет два корня. Их произведение 21 положительно, поэтому корни одного знака, а их сумма \(-10\) отрицательна, поэтому оба корня отрицательны. Подходит утверждение 2).
В) \(x^2 - 11x + 24 = 0\). Дискриминант \(D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25\) положителен, значит, уравнение имеет два корня. Их произведение 24 положительно, поэтому корни одного знака, а их сумма 11 положительна, поэтому оба корня положительны. Подходит утверждение 1).
Г) \(x^2 + 14x + 40 = 0\). Дискриминант \(D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 196 - 160 = 36\) положителен, значит, уравнение имеет два корня. Их произведение 40 положительно, поэтому корни одного знака, а их сумма \(-14\) отрицательна, поэтому оба корня отрицательны. Подходит утверждение 2).
Д) \(x^2 - 9x - 22 = 0\). Свободный член \(-22\) отрицателен, поэтому дискриминант \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-22) = 81 + 88 = 169\) положителен и уравнение имеет два корня. Их произведение \(-22\) отрицательно, поэтому корни имеют разные знаки. Подходит утверждение 3).
Ответ: А — 4) уравнение не имеет корней; Б — 2) оба корня уравнения отрицательны; В — 1) оба корня уравнения положительны; Г — 2) оба корня уравнения отрицательны; Д — 3) корни уравнения имеют разные знаки.
