Страница 100 номер 507, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \((x + 4)(x - 9) = -30\); б) \(2(3x - 5)^2 = 9(3x - 5)\); в) \(\frac{5}{9}x^2 + \frac{1}{7}x = \frac{4}{7}x^2 + \frac{2}{9}\); г) \(x^4 = (x + 12)^2\); д) \(x^4 - 3x^2 - 4 = 0\).
а) \[\begin{aligned} (x + 4)(x - 9) &= -30; \\ x^2 - 9x + 4x - 36 + 30 &= 0; \\ x^2 - 5x - 6 &= 0. \end{aligned}\] Сумма чисел \(-1\) и 6 равна 5, а их произведение равно \(-6\), поэтому по теореме, обратной теореме Виета, корнями уравнения являются числа \(-1\) и 6.
б) Пусть \(3x - 5 = t\), тогда \[\begin{aligned} 2t^2 &= 9t; \\ 2t^2 - 9t &= 0; \\ t(2t - 9) &= 0. \end{aligned}\] \(t = 0\) или \(2t - 9 = 0\), то есть \(t = 0\) или \(t = 4{,}5\).
Поскольку \(3x - 5 = t\), получаем \(3x - 5 = 0\) или \(3x - 5 = 4{,}5\).
Из первого уравнения \(3x = 5\), \(x = \frac{5}{3}\).
Из второго уравнения \(3x = 9{,}5\), \(x = \frac{9{,}5}{3} = \frac{95}{30} = \frac{19}{6}\).
в) \[\begin{aligned} \frac{5}{9}x^2 + \frac{1}{7}x &= \frac{4}{7}x^2 + \frac{2}{9}; \qquad | \cdot 63 \\ 35x^2 + 9x &= 36x^2 + 14; \\ 35x^2 + 9x - 36x^2 - 14 &= 0; \\ -x^2 + 9x - 14 &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ x^2 - 9x + 14 &= 0. \end{aligned}\] Сумма чисел 2 и 7 равна 9, а их произведение равно 14, поэтому по теореме, обратной теореме Виета, корнями уравнения являются числа 2 и 7.
г) \(x^4 = (x^2)^2\), поэтому \[\begin{aligned} (x^2)^2 - (x + 12)^2 &= 0; \\ (x^2 - (x + 12))(x^2 + (x + 12)) &= 0; \\ (x^2 - x - 12)(x^2 + x + 12) &= 0; \\ x^2 - x - 12 &= 0 \quad \text{или} \quad x^2 + x + 12 = 0. \end{aligned}\] Сумма чисел \(-3\) и 4 равна 1, а их произведение равно \(-12\), поэтому по теореме, обратной теореме Виета, корнями уравнения \(x^2 - x - 12 = 0\) являются числа \(-3\) и 4.
Уравнение \(x^2 + x + 12 = 0\) корней не имеет: его дискриминант \(1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 1 - 48 = -47\) отрицателен.
Значит, исходное уравнение имеет два корня: \(-3\) и 4.
д) Пусть \(x^2 = t\); квадрат числа неотрицателен, поэтому \(t \geqslant 0\). Уравнение примет вид \[t^2 - 3t - 4 = 0.\] Сумма чисел \(-1\) и 4 равна 3, а их произведение равно \(-4\), поэтому по теореме, обратной теореме Виета, корнями этого уравнения являются числа \(-1\) и 4.
Значение \(t = -1\) не подходит, так как \(t = x^2 \geqslant 0\): уравнение \(x^2 = -1\) корней не имеет.
Поскольку \(x^2 = t\), при \(t = 4\) получаем \(x^2 = 4\), откуда \(x = -2\) или \(x = 2\).
Ответ: а) \(-1\); \(6\); б) \(\frac{5}{3}\); \(\frac{19}{6}\); в) \(2\); \(7\); г) \(-3\); \(4\); д) \(-2\); \(2\).
Решите уравнение: а) \((x + 4)(x - 9) = -30\); б) \(2(3x - 5)^2 = 9(3x - 5)\); в) \(\frac{5}{9}x^2 + \frac{1}{7}x = \frac{4}{7}x^2 + \frac{2}{9}\); г) \(x^4 = (x + 12)^2\); д) \(x^4 - 3x^2 - 4 = 0\).
а) Раскроем скобки, перенесём все слагаемые в левую часть уравнения и приведём подобные слагаемые: \[\begin{aligned} (x + 4)(x - 9) &= -30; \\ x^2 - 9x + 4x - 36 + 30 &= 0; \\ x^2 - 5x - 6 &= 0. \end{aligned}\] Получилось приведённое квадратное уравнение. Сумма чисел \(-1\) и 6 равна 5, а их произведение равно \(-6\), поэтому по теореме, обратной теореме Виета, корнями уравнения \(x^2 - 5x - 6 = 0\) являются числа \(-1\) и 6.
б) В уравнении дважды встречается выражение \(3x - 5\). Пусть \(3x - 5 = t\). Тогда исходное уравнение принимает вид \[\begin{aligned} 2t^2 &= 9t; \\ 2t^2 - 9t &= 0; \\ t(2t - 9) &= 0. \end{aligned}\] Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(t = 0\) или \(2t - 9 = 0\), то есть \(t = 0\) или \(t = 4{,}5\). Поскольку \(3x - 5 = t\), получаем, что \(3x - 5 = 0\) или \(3x - 5 = 4{,}5\). Из первого уравнения \(3x = 5\), \(x = \frac{5}{3}\). Из второго уравнения \(3x = 9{,}5\), \(x = \frac{9{,}5}{3} = \frac{95}{30} = \frac{19}{6}\).
в) Умножим обе части уравнения на 63 — общий знаменатель дробей, перенесём все слагаемые в левую часть, приведём подобные слагаемые и умножим обе части на \(-1\): \[\begin{aligned} \frac{5}{9}x^2 + \frac{1}{7}x &= \frac{4}{7}x^2 + \frac{2}{9}; \qquad | \cdot 63 \\ 35x^2 + 9x &= 36x^2 + 14; \\ 35x^2 + 9x - 36x^2 - 14 &= 0; \\ -x^2 + 9x - 14 &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ x^2 - 9x + 14 &= 0. \end{aligned}\] Сумма чисел 2 и 7 равна 9, а их произведение равно 14, поэтому по теореме, обратной теореме Виета, корнями уравнения \(x^2 - 9x + 14 = 0\) являются числа 2 и 7.
г) В обеих частях уравнения находятся полные квадраты: \(x^4 = (x^2)^2\). Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения и применим формулу разности квадратов: \[\begin{aligned} (x^2)^2 - (x + 12)^2 &= 0; \\ (x^2 - (x + 12))(x^2 + (x + 12)) &= 0; \\ (x^2 - x - 12)(x^2 + x + 12) &= 0. \end{aligned}\] Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \[x^2 - x - 12 = 0 \quad \text{или} \quad x^2 + x + 12 = 0.\] Получившиеся уравнения являются квадратными. Сумма чисел \(-3\) и 4 равна 1, а их произведение равно \(-12\), поэтому по теореме, обратной теореме Виета, корнями уравнения \(x^2 - x - 12 = 0\) являются числа \(-3\) и 4. Дискриминант уравнения \(x^2 + x + 12 = 0\) равен \(1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 1 - 48 = -47\); он отрицателен, значит, это уравнение корней не имеет. Таким образом, исходное уравнение имеет два корня: \(-3\) и 4.
д) Уравнение \(x^4 - 3x^2 - 4 = 0\) биквадратное. Сделаем замену переменной \(x^2 = t\). Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому новая переменная может принимать только неотрицательные значения: \(t \geqslant 0\). Уравнение примет вид \[t^2 - 3t - 4 = 0.\] Сумма чисел \(-1\) и 4 равна 3, а их произведение равно \(-4\), поэтому по теореме, обратной теореме Виета, корнями этого уравнения являются числа \(-1\) и 4. Значение \(t = -1\) не подходит, так как \(t = x^2 \geqslant 0\): уравнение \(x^2 = -1\) корней не имеет. Поскольку \(x^2 = t\), при \(t = 4\) получаем \(x^2 = 4\), откуда \(x = -2\) или \(x = 2\).
Ответ: а) \(-1\); \(6\); б) \(\frac{5}{3}\); \(\frac{19}{6}\); в) \(2\); \(7\); г) \(-3\); \(4\); д) \(-2\); \(2\).
