Темы исследовательских работ на странице 104, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Квадратные уравнения в трудах ал-Хорезми.
План доклада:
1. Ал-Хорезми и Багдад IX века.
2. Ал-джабр и ал-мукабала.
3. Шесть видов уравнений.
4. Достраивание до квадрата.
5. Число корней.
Презентация к докладу: «Квадратные уравнения в трудах ал-Хорезми», 7 слайдов (.pptx)
Основное содержание.
1. Ал-Хорезми и Багдад IX века. Мухаммад ибн Муса ал-Хорезми («из Хорезма») — учёный IX века, работавший в Багдаде, в «Доме мудрости». От латинской формы его имени произошло слово «алгоритм».
2. Ал-джабр и ал-мукабала. Главный алгебраический труд — «Краткая книга об исчислении ал-джабра и ал-мукабалы». Ал-джабр («восполнение») — перенос вычитаемого в другую часть уравнения, где оно становится слагаемым; ал-мукабала («противопоставление») — сокращение одинаковых слагаемых: \(x^2 + 30 - 4x = 6x + 9\) после ал-джабра даёт \(x^2 + 30 = 10x + 9\), после ал-мукабалы — \(x^2 + 21 = 10x\). От слова «ал-джабр» произошло слово «алгебра». Уравнения записаны словами: неизвестное — «корень», его квадрат — «имущество», свободный член — «число».
3. Шесть видов уравнений. Отрицательных чисел ал-Хорезми не использовал, поэтому коэффициенты положительны, а уравнения разделены на шесть видов:
- квадраты равны корням (\(ax^2 = bx\));
- квадраты равны числу (\(ax^2 = c\));
- корни равны числу (\(bx = c\));
- квадраты и корни равны числу (\(ax^2 + bx = c\));
- квадраты и число равны корням (\(ax^2 + c = bx\));
- корни и число равны квадратам (\(bx + c = ax^2\)).
4. Достраивание до квадрата. Уравнение \(x^2 + 10x = 39\) решается так: половину числа корней, 5, возводят в квадрат — 25; прибавляют 39 — 64; извлекают корень — 8; вычитают 5 — получается 3. Обоснование — чертёж: квадрат со стороной \(x\) и два прямоугольника со сторонами \(x\) и 5 дополняют квадратом площадью 25 до квадрата со стороной \(x + 5\). Современная запись: \[\begin{aligned} x^2 + 10x &= 39; \qquad | +25 \\ x^2 + 10x + 25 &= 64; \\ (x + 5)^2 &= 64. \end{aligned}\] Отсюда \(x = -13\) или \(x = 3\); отрицательный корень ал-Хорезми не рассматривал. Для уравнения \(x^2 + 10x - 39 = 0\) получаем \(D_1 = 64\) и \(x = -5 \pm 8\).
5. Число корней. Уравнение вида «квадраты и число равны корням» может иметь два положительных корня: для \(x^2 + 21 = 10x\) получаем \(5^2 = 25\), \(25 - 21 = 4\), \(\sqrt{4} = 2\) и корни \(5 - 2 = 3\) и \(5 + 2 = 7\). Если квадрат половины числа корней меньше числа, задача невозможна, а если равен — корень один. Это правило знака дискриминанта: уравнение \(x^2 + 25 = 10x\) имеет один корень 5 (\(D_1 = 0\)), а \(x^2 + 30 = 10x\) корней не имеет (\(D_1 = -5\)).
Резюме: Таким образом, ал-Хорезми, работавший в Багдаде в IX веке, в «Краткой книге об исчислении ал-джабра и ал-мукабалы» систематически изложил решение уравнений первой и второй степени; от названия книги произошло слово «алгебра», а от его имени — слово «алгоритм». Уравнения он записывал словами, с положительными коэффициентами, разделял на шесть видов и решал каждый вид по своему правилу, а правила для видов, в которых есть и квадраты, и корни, и число, обосновывал достраиванием до квадрата, то есть выделением полного квадрата. Ал-Хорезми рассматривал только положительные корни, но знал, что уравнение может иметь два корня, один или ни одного, и это зависит от того, что сейчас называют знаком дискриминанта.
Квадратные уравнения в трудах ал-Хорезми.
План доклада:
1. Ал-Хорезми и Багдад IX века.
2. Ал-джабр и ал-мукабала.
3. Шесть видов уравнений.
4. Достраивание до квадрата.
5. Число корней.
Презентация к докладу: «Квадратные уравнения в трудах ал-Хорезми», 7 слайдов (.pptx)
Основное содержание.
1. Ал-Хорезми и Багдад IX века. Мухаммад ибн Муса ал-Хорезми — учёный IX века; его прозвище означает «из Хорезма» (Хорезм — область в низовьях Амударьи). Он работал в Багдаде, столице Арабского халифата, в «Доме мудрости» — научном центре, где переводили на арабский язык труды греческих и индийских учёных и вели собственные исследования. Ал-Хорезми написал сочинения по арифметике, алгебре, астрономии и географии. Его книга об индийской позиционной записи чисел стала известна в Европе в латинском переводе, и от латинской формы его имени произошло слово «алгоритм».
2. Ал-джабр и ал-мукабала. Главный алгебраический труд ал-Хорезми — «Краткая книга об исчислении ал-джабра и ал-мукабалы». Ал-джабр («восполнение») — перенос вычитаемого из одной части уравнения в другую, где оно становится слагаемым; ал-мукабала («противопоставление») — сокращение одинаковых слагаемых в обеих частях. Например, уравнение \(x^2 + 30 - 4x = 6x + 9\) после ал-джабра принимает вид \(x^2 + 30 = 10x + 9\), а после ал-мукабалы — вид \(x^2 + 21 = 10x\). От слова «ал-джабр» в названии книги произошло слово «алгебра». В книге нет ни букв, ни знаков: уравнения, правила и даже числа записаны словами. Неизвестное ал-Хорезми называл «корнем», его квадрат — «имуществом» (обычно переводят «квадрат»), а свободный член — просто «числом».
3. Шесть видов уравнений. Отрицательных чисел ал-Хорезми не использовал, поэтому все коэффициенты в его уравнениях положительны, а уравнения первой и второй степени разделены на шесть видов (в скобках — современная запись):
- квадраты равны корням (\(ax^2 = bx\));
- квадраты равны числу (\(ax^2 = c\));
- корни равны числу (\(bx = c\));
- квадраты и корни равны числу (\(ax^2 + bx = c\));
- квадраты и число равны корням (\(ax^2 + c = bx\));
- корни и число равны квадратам (\(bx + c = ax^2\)).
С помощью ал-джабра и ал-мукабалы уравнение приводят к одному из этих видов, а затем делят на число квадратов, чтобы квадрат был один. Корнями ал-Хорезми считал только положительные числа.
4. Достраивание до квадрата. Для каждого вида ал-Хорезми даёт правило решения, записанное словами, а правила для составных видов обосновывает чертежами. Уравнение «квадрат и десять корней равны тридцати девяти» (\(x^2 + 10x = 39\)) решается так: половину числа корней, 5, возводят в квадрат — получается 25; прибавляют 39 — получается 64; извлекают корень — 8; вычитают 5 — получается 3. Обоснование геометрическое: к квадрату со стороной \(x\) пристраивают два прямоугольника со сторонами \(x\) и 5, и площадь фигуры равна \(x^2 + 10x\), то есть 39. До квадрата со стороной \(x + 5\) ей не хватает квадрата со стороной 5 и площадью 25. Значит, площадь большого квадрата равна \(39 + 25 = 64\), его сторона \(x + 5 = 8\), и \(x = 3\). На современном языке это выделение полного квадрата: к обеим частям уравнения прибавляют 25. \[\begin{aligned} x^2 + 10x &= 39; \qquad | +25 \\ x^2 + 10x + 25 &= 64; \\ (x + 5)^2 &= 64. \end{aligned}\] Отсюда \(x + 5 = -8\) или \(x + 5 = 8\), то есть \(x = -13\) или \(x = 3\); отрицательный корень ал-Хорезми не рассматривал. Его правило совпадает с формулой корней через \(D_1\): для уравнения \(x^2 + 10x - 39 = 0\) получаем \(k = 5\), \(D_1 = 5^2 - 1 \cdot (-39) = 64\) и \(x = -5 \pm 8\).
5. Число корней. Уравнение вида «квадраты и число равны корням» может иметь два положительных корня, и ал-Хорезми это отмечает. Для уравнения \(x^2 + 21 = 10x\): половина числа корней равна 5, её квадрат — 25; вычитают 21 — получается 4; корень из 4 равен 2; корень уравнения равен \(5 - 2 = 3\) или \(5 + 2 = 7\). Проверка: \(3^2 + 21 = 30 = 10 \cdot 3\) и \(7^2 + 21 = 70 = 10 \cdot 7\). Ал-Хорезми указывает: если квадрат половины числа корней меньше числа, задача невозможна, а если равен ему, корень один — половина числа корней. В современной записи это уравнение \(x^2 - 10x + 21 = 0\) с дискриминантом \(D_1 = 5^2 - 21 = 4\), и правило ал-Хорезми — это правило знака дискриминанта для уравнений этого вида. Например, уравнение \(x^2 + 25 = 10x\) имеет один корень 5 (\(D_1 = 25 - 25 = 0\)), а уравнение \(x^2 + 30 = 10x\) корней не имеет (\(D_1 = 25 - 30 = -5\)). В XII веке «Краткую книгу» перевели на латинский язык, и по ней европейские учёные знакомились с алгеброй.
Резюме: Таким образом, ал-Хорезми, работавший в Багдаде в IX веке, в «Краткой книге об исчислении ал-джабра и ал-мукабалы» систематически изложил решение уравнений первой и второй степени; от названия книги произошло слово «алгебра», а от его имени — слово «алгоритм». Уравнения он записывал словами, с положительными коэффициентами, разделял на шесть видов и решал каждый вид по своему правилу, а правила для видов, в которых есть и квадраты, и корни, и число, обосновывал достраиванием до квадрата, то есть выделением полного квадрата. Ал-Хорезми рассматривал только положительные корни, но знал, что уравнение может иметь два корня, один или ни одного, и это зависит от того, что сейчас называют знаком дискриминанта.
