Страница 64 номер 7.5, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Сколько целых решений имеет неравенство: 1) \(\log_{0{,}25}(3x - 5) > -3\); 2) \(\log_{3}(7 - x) < 3\)?
1) \(-3 = \log_{0{,}25}\left(0{,}25\right)^{-3} = \log_{0{,}25} 64\), поэтому \(\log_{0{,}25}(3x - 5) > \log_{0{,}25} 64\). Основание \(0{,}25 < 1\), поэтому знак меняется на противоположный: \[\begin{cases} 3x - 5 < 64, \\ 3x - 5 > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x < 23, \\ x > \frac{5}{3}; \end{cases} \quad \frac{5}{3} < x < 23.\]
Так как \(1 < \frac{5}{3} < 2\), наименьшее целое решение — 2, наибольшее — 22, а всего целых решений \(22 - 2 + 1 = 21\).
2) \(3 = \log_{3} 3^{3} = \log_{3} 27\), поэтому \(\log_{3}(7 - x) < \log_{3} 27\). Основание \(3 > 1\): \[\begin{cases} 7 - x < 27, \\ 7 - x > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x > -20, \\ x < 7; \end{cases} \quad -20 < x < 7.\]
Целые решения — все целые числа от \(-19\) до 6, а их \(6 - (-19) + 1 = 26\).
Ответ: 1) 21 целое решение; 2) 26 целых решений.
Сколько целых решений имеет неравенство: 1) \(\log_{0{,}25}(3x - 5) > -3\); 2) \(\log_{3}(7 - x) < 3\)?
1) Так как \(-3 = \log_{0{,}25}\left(0{,}25\right)^{-3} = \log_{0{,}25} 64\), имеем: \(\log_{0{,}25}(3x - 5) > \log_{0{,}25} 64\). Основание \(0{,}25\) меньше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} 3x - 5 < 64, \\ 3x - 5 > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x < 23, \\ x > \frac{5}{3}; \end{cases} \quad \frac{5}{3} < x < 23.\]
Так как \(1 < \frac{5}{3} < 2\), наименьшее целое решение равно 2, наибольшее равно 22. Целыми решениями являются все целые числа от 2 до 22, а их \(22 - 2 + 1 = 21\).
2) Так как \(3 = \log_{3} 3^{3} = \log_{3} 27\), имеем: \(\log_{3}(7 - x) < \log_{3} 27\). Основание 3 больше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} 7 - x < 27, \\ 7 - x > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x > -20, \\ x < 7; \end{cases} \quad -20 < x < 7.\]
Целыми решениями являются все целые числа от \(-19\) до 6, а их \(6 - (-19) + 1 = 26\).
Ответ: 1) 21 целое решение; 2) 26 целых решений.
