Страница 59 номер 6.43, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Сколько решений имеет уравнение \((\log_{3}(x - 2) - 2)\sqrt{x - a} = 0\) в зависимости от значения параметра \(a\)?
Первый множитель определён при \(x - 2 > 0\), второй — при \(x - a \geqslant 0\), поэтому уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \left[\begin{array}{l} \log_3 (x - 2) = 2, \\ \sqrt{x - a} = 0, \end{array}\right. \\ x - 2 > 0, \\ x - a \geqslant 0. \end{cases}\]
Первое уравнение совокупности: \(x - 2 = 3^2\); \(x = 11\). Условие \(x - 2 > 0\) для него выполнено всегда, а \(x - a \geqslant 0\) даёт \(a \leqslant 11\).
Второе уравнение совокупности: \(x = a\). Условие \(x - a \geqslant 0\) выполнено всегда, а \(x - 2 > 0\) даёт \(a > 2\).
При \(a \leqslant 2\) решение только одно — число 11.
При \(2 < a < 11\) числа 11 и \(a\) различны — решений два.
При \(a = 11\) они совпадают — решение одно.
При \(a > 11\) число 11 решением не является, остаётся одно решение — число \(a\).
Ответ: если \(a \leqslant 2\) или \(a \geqslant 11\), то одно решение; если \(2 < a < 11\), то два решения.
Сколько решений имеет уравнение \((\log_{3}(x - 2) - 2)\sqrt{x - a} = 0\) в зависимости от значения параметра \(a\)?
Первый множитель определён при \(x - 2 > 0\), второй — при \(x - a \geqslant 0\), поэтому данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \left[\begin{array}{l} \log_3 (x - 2) = 2, \\ \sqrt{x - a} = 0, \end{array}\right. \\ x - 2 > 0, \\ x - a \geqslant 0. \end{cases}\]
Первое уравнение совокупности даёт \(x - 2 = 3^2\); \(x = 11\). Условие \(x - 2 > 0\) для него выполнено при любом значении параметра, а условие \(x - a \geqslant 0\) принимает вид \(a \leqslant 11\).
Второе уравнение совокупности даёт \(x = a\). Условие \(x - a \geqslant 0\) для него выполнено при любом значении параметра, а условие \(x - 2 > 0\) принимает вид \(a > 2\).
Если \(a \leqslant 2\), то решением является только число 11.
Если \(2 < a < 11\), то решениями являются числа 11 и \(a\), причём они различны, — решений два.
Если \(a = 11\), то оба найденных числа совпадают, и решение одно.
Если \(a > 11\), то число 11 решением не является, а число \(a\) — является, и решение одно.
Ответ: если \(a \leqslant 2\) или \(a \geqslant 11\), то одно решение; если \(2 < a < 11\), то два решения.
