Страница 59 номер 6.45, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \((x + a)\log_{3}(2x - 5) = 0\) имеет единственный корень?
Логарифм определён при \(2x - 5 > 0\), поэтому уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \left[\begin{array}{l} x + a = 0, \\ \log_3 (2x - 5) = 0, \end{array}\right. \\ 2x - 5 > 0. \end{cases}\]
Второе уравнение совокупности: \(2x - 5 = 1\); \(x = 3\), и при этом значении \(2x - 5 = 1 > 0\) — корень при любом значении параметра.
Первое уравнение совокупности: \(x = -a\); это число будет корнем тогда и только тогда, когда \(-2a - 5 > 0\), то есть при \(a < -2{,}5\).
При \(a \geqslant -2{,}5\) корень один — число 3.
При \(a < -2{,}5\) и \(-a \ne 3\) корней два — числа 3 и \(-a\).
При \(a = -3\) они совпадают, и корень единственный.
Ответ: \(a = -3\) или \(a \geqslant -2{,}5\).
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \((x + a)\log_{3}(2x - 5) = 0\) имеет единственный корень?
Логарифм определён при \(2x - 5 > 0\), поэтому данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \left[\begin{array}{l} x + a = 0, \\ \log_3 (2x - 5) = 0, \end{array}\right. \\ 2x - 5 > 0. \end{cases}\]
Второе уравнение совокупности даёт \(2x - 5 = 1\); \(x = 3\). При этом значении \(2x - 5 = 1 > 0\), поэтому число 3 является корнем данного уравнения при любом значении параметра.
Первое уравнение совокупности даёт \(x = -a\). Это число будет корнем данного уравнения тогда и только тогда, когда \(-2a - 5 > 0\), то есть когда \(a < -2{,}5\).
Если \(a \geqslant -2{,}5\), то корень один — число 3.
Если \(a < -2{,}5\) и \(-a \ne 3\), то корней два — числа 3 и \(-a\).
Если \(a = -3\), то оба корня совпадают, и корень единственный.
Ответ: \(a = -3\) или \(a \geqslant -2{,}5\).
