Страница 59 номер 6.39, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение: 1) \(x^2 \log_{x} 27 \cdot \log_{9} x = x + 4\); 2) \(\lg \sqrt{1 + x} + 3\lg \sqrt{1 - x} - 2 = \lg \sqrt{1 - x^2}\).
1) ОДЗ: \[\begin{cases} x > 0, \\ x \ne 1. \end{cases}\]
Произведение логарифмов от \(x\) не зависит: \[\log_x 27 \cdot \log_9 x = \frac{\log_3 27}{\log_3 x} \cdot \frac{\log_3 x}{\log_3 9} = \frac{3}{2}.\]
Отсюда \(\frac{3}{2}x^2 = x + 4\); \(3x^2 - 2x - 8 = 0\). Дискриминант равен \(4 + 96 = 100\), значит, \(x = -\frac{4}{3}\) или \(x = 2\); отрицательное число ОДЗ не принадлежит, остаётся \(x = 2\).
2) ОДЗ: \[\begin{cases} 1 + x > 0, \\ 1 - x > 0, \\ 1 - x^2 > 0; \end{cases}\] это промежуток \((-1;\ 1)\).
На нём все подкоренные выражения положительны, поэтому \(\lg \sqrt{1 + x} = \frac{1}{2}\lg(1 + x)\), \(\lg \sqrt{1 - x} = \frac{1}{2}\lg(1 - x)\), \(\lg \sqrt{1 - x^2} = \frac{1}{2}\lg(1 + x) + \frac{1}{2}\lg(1 - x)\): \[\frac{1}{2}\lg(1 + x) + \frac{3}{2}\lg(1 - x) - 2 = \frac{1}{2}\lg(1 + x) + \frac{1}{2}\lg(1 - x).\]
Отсюда \(\lg(1 - x) = 2\); \(1 - x = 100\); \(x = -99\) — промежутку \((-1;\ 1)\) не принадлежит, поэтому корней нет.
Ответ: 1) 2; 2) корней нет.
Решите уравнение: 1) \(x^2 \log_{x} 27 \cdot \log_{9} x = x + 4\); 2) \(\lg \sqrt{1 + x} + 3\lg \sqrt{1 - x} - 2 = \lg \sqrt{1 - x^2}\).
1) Область определения уравнения задаётся системой \[\begin{cases} x > 0, \\ x \ne 1. \end{cases}\]
Произведение логарифмов в левой части от \(x\) не зависит: \[\log_x 27 \cdot \log_9 x = \frac{\log_3 27}{\log_3 x} \cdot \frac{\log_3 x}{\log_3 9} = \frac{3}{2}.\]
Поэтому уравнение принимает вид \(\frac{3}{2}x^2 = x + 4\); \(3x^2 - 2x - 8 = 0\). Дискриминант равен \(4 + 96 = 100\), значит, \(x = -\frac{4}{3}\) или \(x = 2\). Отрицательное число области определения не принадлежит, остаётся \(x = 2\).
2) Область определения уравнения задаётся системой \[\begin{cases} 1 + x > 0, \\ 1 - x > 0, \\ 1 - x^2 > 0. \end{cases}\]
Множеством её решений является промежуток \((-1;\ 1)\).
На этом промежутке все подкоренные выражения положительны, поэтому \(\lg \sqrt{1 + x} = \frac{1}{2}\lg(1 + x)\), \(\lg \sqrt{1 - x} = \frac{1}{2}\lg(1 - x)\), а \(\lg \sqrt{1 - x^2} = \frac{1}{2}\lg(1 + x) + \frac{1}{2}\lg(1 - x)\). Уравнение принимает вид \[\frac{1}{2}\lg(1 + x) + \frac{3}{2}\lg(1 - x) - 2 = \frac{1}{2}\lg(1 + x) + \frac{1}{2}\lg(1 - x).\]
Отсюда \(\lg(1 - x) = 2\); \(1 - x = 100\); \(x = -99\). Это число промежутку \((-1;\ 1)\) не принадлежит, поэтому корней нет.
Ответ: 1) 2; 2) корней нет.
