Страница 60 номер 6.47, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение: 1) \(\log_{x} \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) = 0\); 2) \(\log_{\sin 3x}(\cos x - \cos 2x) = 1\).
1) Основание логарифма равно \(x\), поэтому уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \sin \frac{\pi x}{2} = 1, \\ x > 0, \\ x \ne 1. \end{cases}\]
\(\frac{\pi x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n\), где \(n \in \mathbf{Z}\), то есть \(x = 1 + 4n\); условие \(x > 0\) даёт \(n \geqslant 0\), а \(x \ne 1\) убирает значение \(n = 0\) — остаются натуральные значения \(n\).
2) Основание равно \(\sin 3x\), поэтому уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \cos x - \cos 2x = \sin 3x, \\ \sin 3x > 0, \\ \sin 3x \ne 1; \end{cases}\] условие \(\cos x - \cos 2x > 0\) следует из первого уравнения и условия \(\sin 3x > 0\).
Так как \(\cos x - \cos 2x = 2\sin \frac{3x}{2}\sin \frac{x}{2}\), а \(\sin 3x = 2\sin \frac{3x}{2}\cos \frac{3x}{2}\), первое уравнение принимает вид \[2\sin \frac{3x}{2}\left(\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{3x}{2}\right) = 0.\]
Если \(\sin \frac{3x}{2} = 0\), то и \(\sin 3x = 0\), что противоречит условию \(\sin 3x > 0\); значит, \(\sin \frac{x}{2} = \cos \frac{3x}{2}\), то есть \(\cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}\right) = \cos \frac{3x}{2}\), откуда \(\frac{3x}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{x}{2} + 2\pi k\) или \(\frac{3x}{2} = -\frac{\pi}{2} + \frac{x}{2} + 2\pi k\), где \(k \in \mathbf{Z}\): \(x = \frac{\pi}{4} + \pi k\) или \(x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k\).
Вторая серия не подходит: \(3x = -\frac{3\pi}{2} + 6\pi k\) и \(\sin 3x = 1\) — основание равно единице.
При \(k = 2n\) имеем \(x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n\), \(3x = \frac{3\pi}{4} + 6\pi n\) и \(\sin 3x = \frac{\sqrt{2}}{2}\) — условия \(\sin 3x > 0\) и \(\sin 3x \ne 1\) выполнены. При \(k = 2n + 1\) имеем \(x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n\), \(3x = \frac{15\pi}{4} + 6\pi n\) и \(\sin 3x = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0\) — такие числа не подходят.
Ответ: 1) \(1 + 4n\), \(n \in \mathbf{N}\); 2) \(\frac{\pi}{4} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
Решите уравнение: 1) \(\log_{x} \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) = 0\); 2) \(\log_{\sin 3x}(\cos x - \cos 2x) = 1\).
1) Основание логарифма равно \(x\), поэтому данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \sin \frac{\pi x}{2} = 1, \\ x > 0, \\ x \ne 1. \end{cases}\]
Из уравнения \(\sin \frac{\pi x}{2} = 1\) получаем \(\frac{\pi x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n\), где \(n \in \mathbf{Z}\), то есть \(x = 1 + 4n\).
Условие \(x > 0\) даёт \(1 + 4n > 0\), то есть \(n \geqslant 0\), а условие \(x \ne 1\) убирает значение \(n = 0\). Остаются натуральные значения \(n\).
2) Основание логарифма равно \(\sin 3x\), поэтому данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \cos x - \cos 2x = \sin 3x, \\ \sin 3x > 0, \\ \sin 3x \ne 1. \end{cases}\]
Условие \(\cos x - \cos 2x > 0\) следует из первого уравнения системы и условия \(\sin 3x > 0\).
По формуле разности косинусов \(\cos x - \cos 2x = 2\sin \frac{3x}{2}\sin \frac{x}{2}\), а по формуле синуса двойного аргумента \(\sin 3x = 2\sin \frac{3x}{2}\cos \frac{3x}{2}\). Первое уравнение системы принимает вид \[2\sin \frac{3x}{2}\left(\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{3x}{2}\right) = 0.\]
Если \(\sin \frac{3x}{2} = 0\), то и \(\sin 3x = 2\sin \frac{3x}{2}\cos \frac{3x}{2} = 0\), что противоречит условию \(\sin 3x > 0\). Значит, \(\sin \frac{x}{2} = \cos \frac{3x}{2}\).
Заменим синус косинусом: \(\cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}\right) = \cos \frac{3x}{2}\). Отсюда \(\frac{3x}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{x}{2} + 2\pi k\) или \(\frac{3x}{2} = -\frac{\pi}{2} + \frac{x}{2} + 2\pi k\), где \(k \in \mathbf{Z}\), то есть \(x = \frac{\pi}{4} + \pi k\) или \(x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k\).
Для чисел второй серии \(3x = -\frac{3\pi}{2} + 6\pi k\) и \(\sin 3x = 1\) — основание логарифма равно единице, поэтому эти числа не подходят.
Числа первой серии разберём по чётности \(k\). При \(k = 2n\) имеем \(x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n\), тогда \(3x = \frac{3\pi}{4} + 6\pi n\) и \(\sin 3x = \frac{\sqrt{2}}{2}\) — условия \(\sin 3x > 0\) и \(\sin 3x \ne 1\) выполнены. При \(k = 2n + 1\) имеем \(x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n\), тогда \(3x = \frac{15\pi}{4} + 6\pi n\) и \(\sin 3x = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0\) — такие числа не подходят.
Ответ: 1) \(1 + 4n\), \(n \in \mathbf{N}\); 2) \(\frac{\pi}{4} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
