Страница 60 номер 6.50, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите систему уравнений \[\begin{cases}\sqrt{x} - \sqrt{y} = \log_{3} \frac{y}{x}, \\ 2^{x + 2} + 8^{x} = 5 \cdot 4^{y}.\end{cases}\]
ОДЗ: \(x > 0\), \(y > 0\).
Первое уравнение запишем в виде \(\sqrt{x} - \sqrt{y} = \log_3 y - \log_3 x\), то есть \[\sqrt{x} + \log_3 x = \sqrt{y} + \log_3 y.\]
Функция \(f(t) = \sqrt{t} + \log_3 t\) на промежутке \((0;\ +\infty)\) — сумма возрастающих функций, поэтому возрастает и каждое своё значение принимает не более одного раза; из \(f(x) = f(y)\) следует \(x = y\).
Подставим \(y = x\) во второе уравнение: \(2^{x + 2} + 8^x = 5 \cdot 4^x\); \(4 \cdot 2^x + 2^{3x} = 5 \cdot 2^{2x}\).
Пусть \(2^x = u\), где \(u > 0\): \(u^3 - 5u^2 + 4u = 0\); \(u\left(u^2 - 5u + 4\right) = 0\); так как \(u \ne 0\), то \(u^2 - 5u + 4 = 0\); \(u = 1\) или \(u = 4\), то есть \(x = 0\) или \(x = 2\).
Число 0 ОДЗ не принадлежит, остаётся \(x = 2\), а вместе с ним \(y = 2\).
Ответ: \((2;\ 2)\).
Решите систему уравнений \[\begin{cases}\sqrt{x} - \sqrt{y} = \log_{3} \frac{y}{x}, \\ 2^{x + 2} + 8^{x} = 5 \cdot 4^{y}.\end{cases}\]
Область определения системы задаётся условиями \(x > 0\) и \(y > 0\): под знаками корней стоят \(x\) и \(y\), а дробь \(\frac{y}{x}\) под знаком логарифма должна быть положительной.
Запишем первое уравнение в виде \(\sqrt{x} - \sqrt{y} = \log_3 y - \log_3 x\), то есть \[\sqrt{x} + \log_3 x = \sqrt{y} + \log_3 y.\]
Рассмотрим функцию \(f(t) = \sqrt{t} + \log_3 t\) на промежутке \((0;\ +\infty)\). Функция \(y = \sqrt{t}\) возрастающая, логарифмическая функция с основанием 3 тоже возрастающая, а сумма возрастающих функций возрастает. Возрастающая функция каждое своё значение принимает не более одного раза, поэтому из равенства \(f(x) = f(y)\) следует \(x = y\).
Подставим \(y = x\) во второе уравнение: \(2^{x + 2} + 8^x = 5 \cdot 4^x\); \(4 \cdot 2^x + 2^{3x} = 5 \cdot 2^{2x}\).
Пусть \(2^x = u\), где \(u > 0\). Тогда \(u^3 - 5u^2 + 4u = 0\); \(u\left(u^2 - 5u + 4\right) = 0\). Так как \(u \ne 0\), получаем \(u^2 - 5u + 4 = 0\); \(u = 1\) или \(u = 4\).
Отсюда \(2^x = 2^0\) или \(2^x = 2^2\), то есть \(x = 0\) или \(x = 2\). Число 0 области определения не принадлежит, остаётся \(x = 2\), а вместе с ним \(y = 2\).
Ответ: \((2;\ 2)\).
