Страница 64 номер 7.2, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1) Основание десятичного логарифма \(10 > 1\): \[\begin{cases} x < 4, \\ x > 0; \end{cases} \quad 0 < x < 4.\]
2) Основание \(\frac{5}{6} < 1\), поэтому знак меняется на противоположный: \[\begin{cases} x < \frac{6}{7}, \\ x > 0; \end{cases} \quad 0 < x < \frac{6}{7}.\]
3) Основание \(12 > 1\): \(x - 8 > 3\), откуда \(x > 11\).
4) Основание \(16 > 1\): \[\begin{cases} 4x - 6 < 10, \\ 4x - 6 > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x < 4, \\ x > \frac{3}{2}; \end{cases} \quad \frac{3}{2} < x < 4.\]
5) Основание \(\frac{8}{11} < 1\), поэтому знак меняется на противоположный: \(2 - x > 2\), откуда \(x < 0\). Меньшее выражение здесь — число 2, оно положительно.
6) Основание \(0{,}9 < 1\), поэтому знак меняется на противоположный: \[\begin{cases} 2x + 1 < 5, \\ 2x + 1 > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x < 2, \\ x > -\frac{1}{2}; \end{cases} \quad -\frac{1}{2} < x < 2.\]
Ответ: 1) \((0;\ 4)\); 2) \(\left(0;\ \frac{6}{7}\right)\); 3) \((11;\ +\infty)\); 4) \(\left(\frac{3}{2};\ 4\right)\); 5) \((-\infty;\ 0)\); 6) \(\left(-\frac{1}{2};\ 2\right)\).
При основании, большем единицы, знак неравенства между аргументами тот же, что и между логарифмами, при основании, меньшем единицы, — противоположный; положительности требуют от меньшего из аргументов.
1) Основание десятичного логарифма — число 10, оно больше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} x < 4, \\ x > 0; \end{cases} \quad 0 < x < 4.\]
2) Основание \(\frac{5}{6}\) меньше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} x < \frac{6}{7}, \\ x > 0; \end{cases} \quad 0 < x < \frac{6}{7}.\]
3) Основание 12 больше единицы, поэтому данное неравенство равносильно неравенству \(x - 8 > 3\), откуда \(x > 11\).
4) Основание 16 больше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} 4x - 6 < 10, \\ 4x - 6 > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x < 4, \\ x > \frac{3}{2}; \end{cases} \quad \frac{3}{2} < x < 4.\]
5) Основание \(\frac{8}{11}\) меньше единицы, поэтому данное неравенство равносильно неравенству \(2 - x > 2\), откуда \(x < 0\). Меньшее выражение здесь — число 2, оно положительно.
6) Основание \(0{,}9\) меньше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} 2x + 1 < 5, \\ 2x + 1 > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x < 2, \\ x > -\frac{1}{2}; \end{cases} \quad -\frac{1}{2} < x < 2.\]
Ответ: 1) \((0;\ 4)\); 2) \(\left(0;\ \frac{6}{7}\right)\); 3) \((11;\ +\infty)\); 4) \(\left(\frac{3}{2};\ 4\right)\); 5) \((-\infty;\ 0)\); 6) \(\left(-\frac{1}{2};\ 2\right)\).
