Страница 60 номер 6.49, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение \(2^{-|x - 2|}\log_{2}(4x - x^2 - 2) = 1\).
\(4x - x^2 - 2 = 2 - (x - 2)^2\), поэтому ОДЗ: \(2 - (x - 2)^2 > 0\).
Так как \(2 - (x - 2)^2 \leqslant 2\), а логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, то \(\log_2 \left(2 - (x - 2)^2\right) \leqslant \log_2 2 = 1\), причём равенство только при \(x = 2\). Так как \(-|x - 2| \leqslant 0\), а показательная функция с основанием 2 возрастающая, то \(0 < 2^{-|x - 2|} \leqslant 1\), и здесь равенство единице тоже только при \(x = 2\).
При \(\log_2 \left(2 - (x - 2)^2\right) \leqslant 0\) произведение неположительно и единице равно быть не может. Остаётся случай, когда оба множителя положительны; тогда произведение не превосходит \(1 \cdot 1 = 1\), и равенство единице достигается только при условии \[\begin{cases} 2^{-|x - 2|} = 1, \\ \log_2 \left(2 - (x - 2)^2\right) = 1. \end{cases}\]
Оба уравнения выполняются при \(x = 2\): тогда \(2^{0} = 1\) и \(\log_2 2 = 1\). Это значение принадлежит ОДЗ.
Ответ: 2.
Решите уравнение \(2^{-|x - 2|}\log_{2}(4x - x^2 - 2) = 1\).
Выделим под знаком логарифма квадрат двучлена: \(4x - x^2 - 2 = 2 - (x - 2)^2\). Область определения уравнения задаётся неравенством \(2 - (x - 2)^2 > 0\).
Оценим множители. Так как \(2 - (x - 2)^2 \leqslant 2\), а логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, то \(\log_2 \left(2 - (x - 2)^2\right) \leqslant \log_2 2 = 1\), причём равенство достигается только при \(x = 2\). Так как \(-|x - 2| \leqslant 0\), а показательная функция с основанием 2 возрастающая, то \(0 < 2^{-|x - 2|} \leqslant 1\), и здесь равенство единице тоже достигается только при \(x = 2\).
Если \(\log_2 \left(2 - (x - 2)^2\right) \leqslant 0\), то произведение множителей неположительно и единице равно быть не может. Остаётся случай, когда оба множителя положительны; тогда произведение не превосходит \(1 \cdot 1 = 1\), и равенство единице достигается только при условии \[\begin{cases} 2^{-|x - 2|} = 1, \\ \log_2 \left(2 - (x - 2)^2\right) = 1. \end{cases}\]
Оба уравнения системы выполняются при \(x = 2\): тогда \(2^{0} = 1\) и \(\log_2 2 = 1\). Это значение принадлежит области определения.
Ответ: 2.
