Страница 60 номер 6.51, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение \(\log_{2} \frac{x}{\sqrt{4x - 3}} = \sqrt{4x - 3} - x\).
ОДЗ: \(4x - 3 > 0\), то есть промежуток \(\left(\frac{3}{4};\ +\infty\right)\); на нём \(x > 0\) и \(\sqrt{4x - 3} > 0\), поэтому выражение под знаком логарифма положительно.
Запишем уравнение в виде \(\log_2 x - \log_2 \sqrt{4x - 3} = \sqrt{4x - 3} - x\), то есть \[\log_2 x + x = \log_2 \sqrt{4x - 3} + \sqrt{4x - 3}.\]
Функция \(f(t) = \log_2 t + t\) на промежутке \((0;\ +\infty)\) — сумма возрастающих функций, поэтому возрастает и каждое своё значение принимает не более одного раза; из \(f(x) = f\left(\sqrt{4x - 3}\right)\) следует \(x = \sqrt{4x - 3}\).
Обе части положительны, поэтому \(x^2 = 4x - 3\); \(x^2 - 4x + 3 = 0\); \(x = 1\) или \(x = 3\) — оба числа больше \(\frac{3}{4}\), то есть принадлежат ОДЗ.
Ответ: 1; 3.
Решите уравнение \(\log_{2} \frac{x}{\sqrt{4x - 3}} = \sqrt{4x - 3} - x\).
Область определения уравнения задаётся неравенством \(4x - 3 > 0\), то есть это промежуток \(\left(\frac{3}{4};\ +\infty\right)\). На нём \(x > 0\) и \(\sqrt{4x - 3} > 0\), поэтому выражение под знаком логарифма положительно.
Запишем уравнение в виде \(\log_2 x - \log_2 \sqrt{4x - 3} = \sqrt{4x - 3} - x\), то есть \[\log_2 x + x = \log_2 \sqrt{4x - 3} + \sqrt{4x - 3}.\]
Рассмотрим функцию \(f(t) = \log_2 t + t\) на промежутке \((0;\ +\infty)\). Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, функция \(y = t\) тоже возрастающая, а сумма возрастающих функций возрастает. Возрастающая функция каждое своё значение принимает не более одного раза, поэтому из равенства \(f(x) = f\left(\sqrt{4x - 3}\right)\) следует \[x = \sqrt{4x - 3}.\]
Обе части этого уравнения положительны, поэтому его можно возвести в квадрат: \(x^2 = 4x - 3\); \(x^2 - 4x + 3 = 0\); \(x = 1\) или \(x = 3\). Оба числа больше \(\frac{3}{4}\), то есть принадлежат области определения.
Ответ: 1; 3.
