Страница 59 номер 6.41, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение \(\sqrt{\operatorname{tg} x + 1} \cdot \log_{\frac{1}{2}}(3 - x) = 0\).
Каждый корень обязан принадлежать области определения обоих множителей: \(\sqrt{\operatorname{tg} x + 1}\) определён при \(\operatorname{tg} x + 1 \geqslant 0\), а \(\log_{\frac{1}{2}}(3 - x)\) — при \(3 - x > 0\). Поэтому уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \left[\begin{array}{l} \log_{\frac{1}{2}}(3 - x) = 0, \\ \operatorname{tg} x + 1 = 0, \end{array}\right. \\ \operatorname{tg} x + 1 \geqslant 0, \\ x < 3. \end{cases}\]
Первое уравнение совокупности: \(3 - x = 1\); \(x = 2\). Так как \(\frac{\pi}{2} \approx 1{,}57\) и \(\frac{3\pi}{4} \approx 2{,}36\), число 2 лежит в промежутке \(\left(\frac{\pi}{2};\ \frac{3\pi}{4}\right)\), а на промежутке \(\left(\frac{\pi}{2};\ \pi\right)\) тангенс возрастает, поэтому \(\operatorname{tg} 2 < \operatorname{tg} \frac{3\pi}{4} = -1\), то есть \(\operatorname{tg} 2 + 1 < 0\) — число 2 корнем не является.
Второе уравнение совокупности: \(\operatorname{tg} x = -1\); \(x = -\frac{\pi}{4} + \pi n\), где \(n \in \mathbf{Z}\); для всех этих чисел \(\operatorname{tg} x + 1 = 0\), и условие \(\operatorname{tg} x + 1 \geqslant 0\) выполняется.
Осталось условие \(x < 3\): \[-\frac{\pi}{4} + \pi n < 3; \qquad \pi n < 3 + \frac{\pi}{4}; \qquad n < \frac{3}{\pi} + \frac{1}{4}.\]
Так как \(\frac{3}{\pi} + \frac{1}{4} \approx 1{,}2\), подходят все целые числа, не большие 1, то есть все целые числа, кроме натуральных, и ещё число 1.
Ответ: \(-\frac{\pi}{4} + \pi n\), \(n \in (\mathbf{Z} \setminus \mathbf{N}) \cup \{1\}\).
Решите уравнение \(\sqrt{\operatorname{tg} x + 1} \cdot \log_{\frac{1}{2}}(3 - x) = 0\).
Уравнение вида \(f(x) \cdot g(x) = 0\) равносильно не одной лишь совокупности \(f(x) = 0\), \(g(x) = 0\): каждый найденный корень обязан принадлежать области определения обоих множителей. Здесь \(f(x) = \sqrt{\operatorname{tg} x + 1}\) определена при \(\operatorname{tg} x + 1 \geqslant 0\), а \(g(x) = \log_{\frac{1}{2}}(3 - x)\) — при \(3 - x > 0\). Поэтому данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \left[\begin{array}{l} \log_{\frac{1}{2}}(3 - x) = 0, \\ \operatorname{tg} x + 1 = 0, \end{array}\right. \\ \operatorname{tg} x + 1 \geqslant 0, \\ x < 3. \end{cases}\]
Единственным корнем первого уравнения совокупности является число 2: из \(3 - x = 1\) получаем \(x = 2\). Проверим для него условие \(\operatorname{tg} x + 1 \geqslant 0\). Так как \(\frac{\pi}{2} \approx 1{,}57\) и \(\frac{3\pi}{4} \approx 2{,}36\), число 2 принадлежит промежутку \(\left(\frac{\pi}{2};\ \frac{3\pi}{4}\right)\). На промежутке \(\left(\frac{\pi}{2};\ \pi\right)\) функция тангенс возрастает, поэтому \(\operatorname{tg} 2 < \operatorname{tg} \frac{3\pi}{4} = -1\), то есть \(\operatorname{tg} 2 + 1 < 0\). Значит, число 2 корнем данного уравнения не является.
Второе уравнение совокупности даёт \(\operatorname{tg} x = -1\); \(x = -\frac{\pi}{4} + \pi n\), где \(n \in \mathbf{Z}\). Для всех этих чисел \(\operatorname{tg} x + 1 = 0\), поэтому условие \(\operatorname{tg} x + 1 \geqslant 0\) выполняется.
Осталось условие \(x < 3\): \[-\frac{\pi}{4} + \pi n < 3; \qquad \pi n < 3 + \frac{\pi}{4}; \qquad n < \frac{3}{\pi} + \frac{1}{4}.\]
Так как \(\frac{3}{\pi} + \frac{1}{4} \approx 1{,}2\), этому неравенству удовлетворяют все целые числа, не большие 1, то есть все целые числа, кроме натуральных, и ещё число 1.
Ответ: \(-\frac{\pi}{4} + \pi n\), \(n \in (\mathbf{Z} \setminus \mathbf{N}) \cup \{1\}\).
