Страница 60 номер 6.46, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение: 1) \(\log_{x} \cos(2\pi x) = 0\); 2) \(\log_{\sqrt{2}\sin x}(1 + \cos x) = 2\).
1) Основание логарифма равно \(x\), поэтому уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \cos 2\pi x = 1, \\ x > 0, \\ x \ne 1; \end{cases}\] условие \(\cos 2\pi x > 0\) следует из первого уравнения.
\(2\pi x = 2\pi n\), где \(n \in \mathbf{Z}\), то есть \(x = n\); условие \(x > 0\) оставляет только натуральные числа, а \(x \ne 1\) убирает из них единицу.
2) Основание равно \(\sqrt{2}\sin x\), поэтому уравнение равносильно системе \[\begin{cases} 1 + \cos x = \left(\sqrt{2}\sin x\right)^2, \\ \sqrt{2}\sin x > 0, \\ \sqrt{2}\sin x \ne 1; \end{cases}\] условие \(1 + \cos x > 0\) следует из первого уравнения и условия \(\sin x > 0\).
\(1 + \cos x = 2\sin^2 x\); \(1 + \cos x = 2(1 - \cos x)(1 + \cos x)\); \((1 + \cos x)(2\cos x - 1) = 0\).
При \(\cos x = -1\) имеем \(\sin x = 0\), что противоречит условию \(\sin x > 0\); значит, \(\cos x = \frac{1}{2}\), откуда \(x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n\) или \(x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n\), где \(n \in \mathbf{Z}\).
Вторая серия не подходит: \(\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0\). Для первой \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0\), а основание \(\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}\) от единицы отлично, так как \(\sqrt{6} \ne 2\).
Ответ: 1) \(n\), где \(n \in \mathbf{N} \setminus \{1\}\); 2) \(\frac{\pi}{3} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
Решите уравнение: 1) \(\log_{x} \cos(2\pi x) = 0\); 2) \(\log_{\sqrt{2}\sin x}(1 + \cos x) = 2\).
1) Основание логарифма равно \(x\), поэтому данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \cos 2\pi x = 1, \\ x > 0, \\ x \ne 1. \end{cases}\]
Условие \(\cos 2\pi x > 0\) отдельно выписывать не нужно: оно следует из первого уравнения системы.
Из уравнения \(\cos 2\pi x = 1\) получаем \(2\pi x = 2\pi n\), где \(n \in \mathbf{Z}\), то есть \(x = n\). Условие \(x > 0\) оставляет из целых чисел только натуральные, а условие \(x \ne 1\) убирает из них единицу.
2) Основание логарифма равно \(\sqrt{2}\sin x\), поэтому данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} 1 + \cos x = \left(\sqrt{2}\sin x\right)^2, \\ \sqrt{2}\sin x > 0, \\ \sqrt{2}\sin x \ne 1. \end{cases}\]
Условие \(1 + \cos x > 0\) следует из первого уравнения системы вместе с условием \(\sin x > 0\).
Преобразуем первое уравнение: \(1 + \cos x = 2\sin^2 x\); \(1 + \cos x = 2(1 - \cos x)(1 + \cos x)\); \[(1 + \cos x)(2\cos x - 1) = 0.\]
Если \(\cos x = -1\), то \(\sin x = 0\), что противоречит условию \(\sin x > 0\). Значит, \(\cos x = \frac{1}{2}\), откуда \(x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n\) или \(x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n\), где \(n \in \mathbf{Z}\).
Для чисел второй серии \(\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0\), поэтому они не подходят. Для чисел первой серии \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0\), а основание равно \(\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}\) и от единицы отлично, так как \(\sqrt{6} \ne 2\).
Ответ: 1) \(n\), где \(n \in \mathbf{N} \setminus \{1\}\); 2) \(\frac{\pi}{3} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
