Страница 60 номер 6.48, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение \((4x - x^2 - 3)\log_{2}(\cos^2 \pi x + 1) = 1\).
\(4x - x^2 - 3 = 1 - (x - 2)^2 \leqslant 1\), причём равенство достигается только при \(x = 2\).
Так как \(0 \leqslant \cos^2 \pi x \leqslant 1\), то \(1 \leqslant \cos^2 \pi x + 1 \leqslant 2\), а логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, поэтому \(0 \leqslant \log_2 \left(\cos^2 \pi x + 1\right) \leqslant 1\).
При \(1 - (x - 2)^2 \leqslant 0\) произведение неположительно и единице равно быть не может. Остаётся случай \(0 < 1 - (x - 2)^2 \leqslant 1\); тогда произведение не превосходит \(1 \cdot 1 = 1\), и равенство единице достигается только при условии \[\begin{cases} 1 - (x - 2)^2 = 1, \\ \log_2 \left(\cos^2 \pi x + 1\right) = 1. \end{cases}\]
Первое уравнение даёт \(x = 2\); при этом \(\cos^2 2\pi + 1 = 2\) и \(\log_2 2 = 1\) — второе уравнение тоже выполняется.
Ответ: 2.
Решите уравнение \((4x - x^2 - 3)\log_{2}(\cos^2 \pi x + 1) = 1\).
Выделим в первом множителе квадрат двучлена: \(4x - x^2 - 3 = 1 - (x - 2)^2\). Значит, \(4x - x^2 - 3 \leqslant 1\), причём равенство достигается только при \(x = 2\).
Оценим второй множитель. Так как \(0 \leqslant \cos^2 \pi x \leqslant 1\), то \(1 \leqslant \cos^2 \pi x + 1 \leqslant 2\). Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, поэтому \[0 \leqslant \log_2 \left(\cos^2 \pi x + 1\right) \leqslant 1.\]
Если \(1 - (x - 2)^2 \leqslant 0\), то произведение множителей неположительно и единице равно быть не может. Остаётся случай \(0 < 1 - (x - 2)^2 \leqslant 1\); тогда произведение не превосходит \(1 \cdot 1 = 1\), и равенство единице достигается только при условии \[\begin{cases} 1 - (x - 2)^2 = 1, \\ \log_2 \left(\cos^2 \pi x + 1\right) = 1. \end{cases}\]
Первое уравнение системы даёт \(x = 2\). При этом значении \(\cos^2 2\pi + 1 = 2\) и \(\log_2 2 = 1\), то есть второе уравнение системы тоже выполняется.
Ответ: 2.
