Страница 60 номер 6.52, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Вычисления пункта 1) верны: при \(x = \frac{1}{2}\) обе части равны \(\frac{1}{4}\), поэтому число \(\frac{1}{2}\) действительно корень.
Неверен вывод пункта 2). Подставим число \(\frac{1}{4}\): \[\left(\frac{1}{16}\right)^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \frac{1}{2}, \qquad \log_{\frac{1}{16}} \frac{1}{4} = \log_{2^{-4}} 2^{-2} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}.\]
Обе части равны \(\frac{1}{2}\), значит, \(\frac{1}{4}\) — тоже корень, и корень \(\frac{1}{2}\) не единственный.
Схематический чертёж вообще не может служить обоснованием числа общих точек двух графиков: на небольшом промежутке кривые могут идти настолько близко, что сливаются в одну линию, а пересекаться при этом несколько раз.
Показательная и логарифмическая функции с одним и тем же основанием взаимно обратны, поэтому их графики симметричны относительно прямой \(y = x\), и найденные корни дают две симметричные друг другу общие точки: \(\left(\frac{1}{4};\ \frac{1}{2}\right)\) и \(\left(\frac{1}{2};\ \frac{1}{4}\right)\).
Третья общая точка лежит на самой прямой \(y = x\). Функция \(y = \left(\frac{1}{16}\right)^{x}\) непрерывна и убывает; при \(x = \frac{1}{4}\) её значение \(\frac{1}{2}\) больше самого \(x\), а при \(x = \frac{1}{2}\) её значение \(\frac{1}{4}\) меньше самого \(x\), поэтому на промежутке \(\left(\frac{1}{4};\ \frac{1}{2}\right)\) найдётся такое число \(x_0\), что \(\left(\frac{1}{16}\right)^{x_0} = x_0\). Точка \((x_0;\ x_0)\) лежит на обоих графиках, то есть \(x_0\) — третий корень; точного выражения он не имеет, приближённо равен \(0{,}36\).
Между точками с абсциссами \(\frac{1}{4}\) и \(\frac{1}{2}\) значения этих функций отличаются не больше чем на несколько тысячных — вот почему кривые сливаются и трёх общих точек не видно. Всего уравнение имеет три корня: \(\frac{1}{4}\), \(x_0\) и \(\frac{1}{2}\).
Ответ: нет, не прав: кроме числа \(\frac{1}{2}\), данное уравнение имеет ещё два корня.
Вычисления пункта 1) верны: при \(x = \frac{1}{2}\) обе части уравнения равны \(\frac{1}{4}\), поэтому число \(\frac{1}{2}\) действительно является корнем.
Неверен вывод пункта 2). Подставим в уравнение число \(\frac{1}{4}\): \[\left(\frac{1}{16}\right)^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \frac{1}{2}, \qquad \log_{\frac{1}{16}} \frac{1}{4} = \log_{2^{-4}} 2^{-2} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}.\]
Обе части уравнения равны \(\frac{1}{2}\), значит, число \(\frac{1}{4}\) — тоже корень, и корень \(\frac{1}{2}\) не единственный.
Ошибка в рассуждении учащегося в том, что схематический чертёж вообще не может служить обоснованием числа общих точек двух графиков: на небольшом промежутке кривые могут идти настолько близко, что на рисунке они сливаются в одну линию, а пересекаться при этом несколько раз.
Здесь так и происходит. Показательная и логарифмическая функции с одним и тем же основанием взаимно обратны, поэтому их графики симметричны относительно прямой \(y = x\). Найденные корни дают две общие точки графиков, симметричные друг другу относительно этой прямой: \(\left(\frac{1}{4};\ \frac{1}{2}\right)\) и \(\left(\frac{1}{2};\ \frac{1}{4}\right)\).
Есть и третья общая точка — на самой прямой \(y = x\). Функция \(y = \left(\frac{1}{16}\right)^{x}\) непрерывна и убывает; при \(x = \frac{1}{4}\) её значение \(\frac{1}{2}\) больше самого \(x\), а при \(x = \frac{1}{2}\) её значение \(\frac{1}{4}\) меньше самого \(x\). Поэтому на промежутке \(\left(\frac{1}{4};\ \frac{1}{2}\right)\) найдётся такое число \(x_0\), что \(\left(\frac{1}{16}\right)^{x_0} = x_0\). Точка \((x_0;\ x_0)\) лежит на графике показательной функции, а вместе с ним — и на симметричном ему графике логарифмической функции, то есть \(x_0\) — третий корень уравнения. Точного выражения этот корень не имеет, приближённо он равен \(0{,}36\).
Между точками с абсциссами \(\frac{1}{4}\) и \(\frac{1}{2}\) значения этих двух функций отличаются не больше чем на несколько тысячных — вот почему на схематическом рисунке кривые сливаются, и увидеть на нём три общие точки вместо одной невозможно. Всего же данное уравнение имеет три корня: \(\frac{1}{4}\), \(x_0\) и \(\frac{1}{2}\).
Ответ: нет, не прав: кроме числа \(\frac{1}{2}\), данное уравнение имеет ещё два корня.
