Страница 59 номер 6.35, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение: 1) \(\log_{7}(x + 8) = -x\); 2) \(\log_{2}^{2} x + (x - 1)\log_{2} x = 6 - 2x\).
1) ОДЗ: \((-8;\ +\infty)\). Функция \(f(x) = \log_7 (x + 8)\) возрастающая, а \(g(x) = -x\) убывающая, поэтому уравнение \(f(x) = g(x)\) имеет не более одного корня. Так как \(f(-1) = \log_7 7 = 1\) и \(g(-1) = 1\), единственный корень — число \(-1\).
2) ОДЗ: \((0;\ +\infty)\). Запишем уравнение в виде \(\log_2^2 x + (x - 1)\log_2 x + 2x - 6 = 0\) — квадратное относительно \(\log_2 x\). Дискриминант равен \[(x - 1)^2 - 4(2x - 6) = x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2,\]
поэтому \(\log_2 x = \frac{1 - x + (x - 5)}{2} = -2\) или \(\log_2 x = \frac{1 - x - (x - 5)}{2} = 3 - x\): \[\left[\begin{array}{l} \log_2 x = -2, \\ \log_2 x = 3 - x. \end{array}\right.\]
Первое уравнение совокупности даёт \(x = \frac{1}{4}\).
Во втором уравнении функция \(y = \log_2 x\) возрастающая, а функция \(y = 3 - x\) убывающая, поэтому оно имеет не более одного корня; так как \(\log_2 2 = 1\) и \(3 - 2 = 1\), этот корень равен 2.
Оба числа положительны, то есть принадлежат ОДЗ.
Ответ: 1) \(-1\); 2) \(\frac{1}{4}\); 2.
Решите уравнение: 1) \(\log_{7}(x + 8) = -x\); 2) \(\log_{2}^{2} x + (x - 1)\log_{2} x = 6 - 2x\).
1) Область определения уравнения — промежуток \((-8;\ +\infty)\).
Рассмотрим функции \(f(x) = \log_7 (x + 8)\) и \(g(x) = -x\). Функция \(f\) возрастающая, функция \(g\) — убывающая, поэтому уравнение \(f(x) = g(x)\) имеет не более одного корня.
Так как \(f(-1) = \log_7 7 = 1\) и \(g(-1) = 1\), то \(x = -1\) — единственный корень данного уравнения.
2) Область определения уравнения — промежуток \((0;\ +\infty)\).
Запишем уравнение в виде \(\log_2^2 x + (x - 1)\log_2 x + 2x - 6 = 0\) и будем рассматривать его как квадратное относительно \(\log_2 x\). Дискриминант равен \[(x - 1)^2 - 4(2x - 6) = x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2.\]
Значит, \(\log_2 x = \frac{1 - x + (x - 5)}{2} = -2\) или \(\log_2 x = \frac{1 - x - (x - 5)}{2} = 3 - x\), и данное уравнение равносильно совокупности \[\left[\begin{array}{l} \log_2 x = -2, \\ \log_2 x = 3 - x. \end{array}\right.\]
Первое уравнение совокупности даёт \(x = \frac{1}{4}\).
Во втором уравнении функция \(y = \log_2 x\) возрастающая, а функция \(y = 3 - x\) убывающая, поэтому оно имеет не более одного корня. Так как \(\log_2 2 = 1\) и \(3 - 2 = 1\), этот корень равен 2.
Оба найденных числа положительны, то есть принадлежат области определения.
Ответ: 1) \(-1\); 2) \(\frac{1}{4}\); 2.
