Страница 59 номер 6.42, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Сколько решений имеет уравнение \((\log_{2}(x + 1) - 3)\sqrt{x - a} = 0\) в зависимости от значения параметра \(a\)?
Первый множитель определён при \(x + 1 > 0\), второй — при \(x - a \geqslant 0\), поэтому уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \left[\begin{array}{l} \log_2 (x + 1) = 3, \\ \sqrt{x - a} = 0, \end{array}\right. \\ x + 1 > 0, \\ x - a \geqslant 0. \end{cases}\]
Первое уравнение совокупности: \(x + 1 = 2^3\); \(x = 7\). Условие \(x + 1 > 0\) для него выполнено всегда, а \(x - a \geqslant 0\) даёт \(a \leqslant 7\).
Второе уравнение совокупности: \(x = a\). Условие \(x - a \geqslant 0\) выполнено всегда, а \(x + 1 > 0\) даёт \(a > -1\).
При \(a \leqslant -1\) решение только одно — число 7.
При \(-1 < a < 7\) числа 7 и \(a\) различны — решений два.
При \(a = 7\) они совпадают — решение одно.
При \(a > 7\) число 7 решением не является, остаётся одно решение — число \(a\).
Ответ: если \(a \leqslant -1\) или \(a \geqslant 7\), то одно решение; если \(-1 < a < 7\), то два решения.
Сколько решений имеет уравнение \((\log_{2}(x + 1) - 3)\sqrt{x - a} = 0\) в зависимости от значения параметра \(a\)?
Первый множитель определён при \(x + 1 > 0\), второй — при \(x - a \geqslant 0\), поэтому данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \left[\begin{array}{l} \log_2 (x + 1) = 3, \\ \sqrt{x - a} = 0, \end{array}\right. \\ x + 1 > 0, \\ x - a \geqslant 0. \end{cases}\]
Первое уравнение совокупности даёт \(x + 1 = 2^3\); \(x = 7\). Условие \(x + 1 > 0\) для него выполнено при любом значении параметра, а условие \(x - a \geqslant 0\) принимает вид \(a \leqslant 7\).
Второе уравнение совокупности даёт \(x = a\). Условие \(x - a \geqslant 0\) для него выполнено при любом значении параметра, а условие \(x + 1 > 0\) принимает вид \(a > -1\).
Если \(a \leqslant -1\), то решением является только число 7.
Если \(-1 < a < 7\), то решениями являются числа 7 и \(a\), причём они различны, — решений два.
Если \(a = 7\), то оба найденных числа совпадают, и решение одно.
Если \(a > 7\), то число 7 решением не является, а число \(a\) — является, и решение одно.
Ответ: если \(a \leqslant -1\) или \(a \geqslant 7\), то одно решение; если \(-1 < a < 7\), то два решения.
