Страница 59 номер 6.44, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \((x - a)\log_{2}(3x - 7) = 0\) имеет единственный корень?
Логарифм определён при \(3x - 7 > 0\), поэтому уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \left[\begin{array}{l} x - a = 0, \\ \log_2 (3x - 7) = 0, \end{array}\right. \\ 3x - 7 > 0. \end{cases}\]
Второе уравнение совокупности: \(3x - 7 = 1\); \(x = \frac{8}{3}\), и при этом значении \(3x - 7 = 1 > 0\) — корень при любом значении параметра.
Первое уравнение совокупности: \(x = a\); это число будет корнем тогда и только тогда, когда \(3a - 7 > 0\), то есть при \(a > \frac{7}{3}\).
При \(a \leqslant \frac{7}{3}\) корень один — число \(\frac{8}{3}\).
При \(a > \frac{7}{3}\) и \(a \ne \frac{8}{3}\) корней два — числа \(\frac{8}{3}\) и \(a\).
При \(a = \frac{8}{3}\) они совпадают, и корень единственный.
Ответ: \(a = \frac{8}{3}\) или \(a \leqslant \frac{7}{3}\).
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \((x - a)\log_{2}(3x - 7) = 0\) имеет единственный корень?
Логарифм определён при \(3x - 7 > 0\), поэтому данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \left[\begin{array}{l} x - a = 0, \\ \log_2 (3x - 7) = 0, \end{array}\right. \\ 3x - 7 > 0. \end{cases}\]
Второе уравнение совокупности даёт \(3x - 7 = 1\); \(x = \frac{8}{3}\). При этом значении \(3x - 7 = 1 > 0\), поэтому число \(\frac{8}{3}\) является корнем данного уравнения при любом значении параметра.
Первое уравнение совокупности даёт \(x = a\). Это число будет корнем данного уравнения тогда и только тогда, когда \(3a - 7 > 0\), то есть когда \(a > \frac{7}{3}\).
Если \(a \leqslant \frac{7}{3}\), то корень один — число \(\frac{8}{3}\).
Если \(a > \frac{7}{3}\) и \(a \ne \frac{8}{3}\), то корней два — числа \(\frac{8}{3}\) и \(a\).
Если \(a = \frac{8}{3}\), то оба корня совпадают, и корень единственный.
Ответ: \(a = \frac{8}{3}\) или \(a \leqslant \frac{7}{3}\).
