Страница 59 номер 6.38, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение \(2\lg^{2}(2x - 1) = \lg^{2}(2x + 1) - \lg(2x - 1) \cdot \lg(2x + 1)\).
ОДЗ: \[\begin{cases} 2x - 1 > 0, \\ 2x + 1 > 0; \end{cases}\] это промежуток \(\left(\frac{1}{2};\ +\infty\right)\).
Пусть \(\lg(2x - 1) = u\), \(\lg(2x + 1) = v\): \(2u^2 + uv - v^2 = 0\); \((2u - v)(u + v) = 0\), и уравнение равносильно совокупности \[\left[\begin{array}{l} \lg(2x + 1) = 2\lg(2x - 1), \\ \lg(2x - 1) + \lg(2x + 1) = 0. \end{array}\right.\]
Первое уравнение равносильно системе \[\begin{cases} 2x + 1 = (2x - 1)^2, \\ x > \frac{1}{2}; \end{cases}\] отсюда \(4x^2 - 6x = 0\); \(x = 0\) или \(x = 1{,}5\), и условию \(x > \frac{1}{2}\) удовлетворяет только \(1{,}5\).
Второе равносильно системе \[\begin{cases} (2x - 1)(2x + 1) = 1, \\ x > \frac{1}{2}; \end{cases}\] отсюда \(4x^2 = 2\); \(x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) или \(x = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Так как \(\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}71 > 0{,}5\), условию \(x > \frac{1}{2}\) удовлетворяет только \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).
Ответ: \(\frac{\sqrt{2}}{2}\); \(1{,}5\).
Решите уравнение \(2\lg^{2}(2x - 1) = \lg^{2}(2x + 1) - \lg(2x - 1) \cdot \lg(2x + 1)\).
Область определения уравнения задаётся системой \[\begin{cases} 2x - 1 > 0, \\ 2x + 1 > 0. \end{cases}\]
Множеством её решений является промежуток \(\left(\frac{1}{2};\ +\infty\right)\).
Пусть \(\lg(2x - 1) = u\), \(\lg(2x + 1) = v\). Уравнение принимает вид \[2u^2 + uv - v^2 = 0; \qquad (2u - v)(u + v) = 0.\]
Данное уравнение равносильно совокупности \[\left[\begin{array}{l} \lg(2x + 1) = 2\lg(2x - 1), \\ \lg(2x - 1) + \lg(2x + 1) = 0. \end{array}\right.\]
Первое уравнение совокупности равносильно системе \[\begin{cases} 2x + 1 = (2x - 1)^2, \\ x > \frac{1}{2}. \end{cases}\]
Отсюда \(4x^2 - 6x = 0\); \(x = 0\) или \(x = 1{,}5\), и условию \(x > \frac{1}{2}\) удовлетворяет только \(x = 1{,}5\).
Второе уравнение совокупности равносильно системе \[\begin{cases} (2x - 1)(2x + 1) = 1, \\ x > \frac{1}{2}. \end{cases}\]
Отсюда \(4x^2 = 2\); \(x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) или \(x = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Так как \(\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}71 > 0{,}5\), условию \(x > \frac{1}{2}\) удовлетворяет только \(x = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
Ответ: \(\frac{\sqrt{2}}{2}\); \(1{,}5\).
