Вопросы после параграфа §7 на странице 63, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Сформулируйте теоремы, которые используют при решении логарифмических неравенств.
Опираются на теорему о сравнении двух логарифмов с одинаковым основанием и на следствие из неё.
Теорема. При \(a > 1\) неравенство \(\log_{a} x_1 > \log_{a} x_2\) выполняется тогда и только тогда, когда \(x_1 > x_2 > 0\); при \(0 < a < 1\) — тогда и только тогда, когда \(0 < x_1 < x_2\). Это вытекает из свойств логарифмической функции: при \(a > 1\) она возрастающая, при \(0 < a < 1\) — убывающая, а определена только при положительных значениях аргумента.
Следствие. При \(a > 1\) неравенство \(\log_{a} f(x) > \log_{a} g(x)\) равносильно системе \(\begin{cases} f(x) > g(x), \\ g(x) > 0, \end{cases}\) а при \(0 < a < 1\) — системе \(\begin{cases} f(x) < g(x), \\ f(x) > 0. \end{cases}\)
Положительности требуют от того выражения, которое в системе оказалось меньшим: положительность большего следует из первого неравенства.
Например, \(\log_{5}(x - 2) > \log_{5} 3\) равносильно неравенству \(x - 2 > 3\), то есть \(x > 5\), а \(\log_{0{,}5}(x - 2) > \log_{0{,}5} 3\) — системе \(\begin{cases} x - 2 < 3, \\ x - 2 > 0, \end{cases}\) откуда \(2 < x < 5\).
Ответ: используют теорему: при \(a > 1\) неравенство \(\log_{a} x_1 > \log_{a} x_2\) выполняется тогда и только тогда, когда \(x_1 > x_2 > 0\), а при \(0 < a < 1\) — тогда и только тогда, когда \(0 < x_1 < x_2\); и следствие из неё: при \(a > 1\) неравенство \(\log_{a} f(x) > \log_{a} g(x)\) равносильно системе \(\begin{cases} f(x) > g(x), \\ g(x) > 0, \end{cases}\) а при \(0 < a < 1\) — системе \(\begin{cases} f(x) < g(x), \\ f(x) > 0. \end{cases}\)
Сформулируйте теоремы, которые используют при решении логарифмических неравенств.
При решении логарифмических неравенств опираются на теорему о сравнении двух логарифмов с одинаковым основанием и на следствие из неё.
Теорема. При \(a > 1\) неравенство \(\log_{a} x_1 > \log_{a} x_2\) выполняется тогда и только тогда, когда \(x_1 > x_2 > 0\); при \(0 < a < 1\) неравенство \(\log_{a} x_1 > \log_{a} x_2\) выполняется тогда и только тогда, когда \(0 < x_1 < x_2\).
Справедливость теоремы вытекает из свойств логарифмической функции: при \(a > 1\) функция \(y = \log_{a} x\) возрастающая, при \(0 < a < 1\) — убывающая, а определена она только при положительных значениях аргумента.
Следствие. Если \(a > 1\), то неравенство \(\log_{a} f(x) > \log_{a} g(x)\) равносильно системе неравенств \[\begin{cases} f(x) > g(x), \\ g(x) > 0. \end{cases}\]
Если \(0 < a < 1\), то неравенство \(\log_{a} f(x) > \log_{a} g(x)\) равносильно системе неравенств \[\begin{cases} f(x) < g(x), \\ f(x) > 0. \end{cases}\]
Условие положительности ставится у того выражения, которое в полученной системе оказалось меньшим: положительность большего из них следует из первого неравенства системы.
Например, основание 5 больше единицы, поэтому неравенство \(\log_{5}(x - 2) > \log_{5} 3\) равносильно неравенству \(x - 2 > 3\), то есть \(x > 5\) (меньшее выражение — число 3, оно положительно). Основание \(0{,}5\) меньше единицы, поэтому неравенство \(\log_{0{,}5}(x - 2) > \log_{0{,}5} 3\) равносильно системе \(\begin{cases} x - 2 < 3, \\ x - 2 > 0, \end{cases}\) откуда \(2 < x < 5\).
Ответ: используют теорему: при \(a > 1\) неравенство \(\log_{a} x_1 > \log_{a} x_2\) выполняется тогда и только тогда, когда \(x_1 > x_2 > 0\), а при \(0 < a < 1\) — тогда и только тогда, когда \(0 < x_1 < x_2\); и следствие из неё: при \(a > 1\) неравенство \(\log_{a} f(x) > \log_{a} g(x)\) равносильно системе \(\begin{cases} f(x) > g(x), \\ g(x) > 0, \end{cases}\) а при \(0 < a < 1\) — системе \(\begin{cases} f(x) < g(x), \\ f(x) > 0. \end{cases}\)
