Страница 63 номер 7.1, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1) Основание \(0{,}1 < 1\), поэтому знак меняется на противоположный: \(x > 9\). Меньшее выражение здесь — число 9, оно положительно.
2) Основание \(11 > 1\): \(x > 12\).
3) Основание \(0{,}8 < 1\), поэтому знак меняется на противоположный: \[\begin{cases} x < 14, \\ x > 0; \end{cases} \quad 0 < x < 14.\]
4) Основание \(7 > 1\): \[\begin{cases} x < 15, \\ x > 0; \end{cases} \quad 0 < x < 15.\]
5) Основание \(\frac{3}{7} < 1\), поэтому знак меняется на противоположный: \(x + 5 > 8\), откуда \(x > 3\).
6) Основание \(8 > 1\): \(2x - 3 > 7\), откуда \(x > 5\).
7) Основание \(\frac{2}{9} < 1\), поэтому знак меняется на противоположный: \[\begin{cases} x - 4 < 2, \\ x - 4 > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x < 6, \\ x > 4; \end{cases} \quad 4 < x < 6.\]
8) Основание десятичного логарифма \(10 > 1\): \[\begin{cases} 1 + 3x < 16, \\ 1 + 3x > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x < 5, \\ x > -\frac{1}{3}; \end{cases} \quad -\frac{1}{3} < x < 5.\]
Ответ: 1) \((9;\ +\infty)\); 2) \((12;\ +\infty)\); 3) \((0;\ 14)\); 4) \((0;\ 15)\); 5) \((3;\ +\infty)\); 6) \((5;\ +\infty)\); 7) \((4;\ 6)\); 8) \(\left(-\frac{1}{3};\ 5\right)\).
Логарифмическая функция \(y = \log_{a} x\) при \(a > 1\) возрастающая, а при \(0 < a < 1\) убывающая. Поэтому при основании, большем единицы, неравенство между логарифмами равносильно такому же неравенству между их аргументами, а при основании, меньшем единицы, — противоположному; при этом меньший из аргументов обязан быть положительным.
1) Основание \(0{,}1\) меньше единицы, поэтому данное неравенство равносильно неравенству \(x > 9\). Меньшее выражение здесь — число 9, оно положительно.
2) Основание 11 больше единицы, поэтому данное неравенство равносильно неравенству \(x > 12\).
3) Основание \(0{,}8\) меньше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} x < 14, \\ x > 0; \end{cases} \quad 0 < x < 14.\]
4) Основание 7 больше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} x < 15, \\ x > 0; \end{cases} \quad 0 < x < 15.\]
5) Основание \(\frac{3}{7}\) меньше единицы, поэтому данное неравенство равносильно неравенству \(x + 5 > 8\), откуда \(x > 3\).
6) Основание 8 больше единицы, поэтому данное неравенство равносильно неравенству \(2x - 3 > 7\), откуда \(x > 5\).
7) Основание \(\frac{2}{9}\) меньше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} x - 4 < 2, \\ x - 4 > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x < 6, \\ x > 4; \end{cases} \quad 4 < x < 6.\]
8) Основание десятичного логарифма — число 10, оно больше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} 1 + 3x < 16, \\ 1 + 3x > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x < 5, \\ x > -\frac{1}{3}; \end{cases} \quad -\frac{1}{3} < x < 5.\]
Ответ: 1) \((9;\ +\infty)\); 2) \((12;\ +\infty)\); 3) \((0;\ 14)\); 4) \((0;\ 15)\); 5) \((3;\ +\infty)\); 6) \((5;\ +\infty)\); 7) \((4;\ 6)\); 8) \(\left(-\frac{1}{3};\ 5\right)\).
