Страница 64 номер 7.4, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите неравенство: 1) \(\log_{\frac{1}{7}} x < -1\); 2) \(\log_{4} x > 2\); 3) \(\lg x < 5\); 4) \(\log_{\frac{1}{6}} x > -3\); 5) \(\log_{\frac{1}{3}}(2x - 3) \ge -2\); 6) \(\log_{9}(5x + 6) \le 2\).
1) \(-1 = \log_{\frac{1}{7}}\left(\frac{1}{7}\right)^{-1} = \log_{\frac{1}{7}} 7\), поэтому \(\log_{\frac{1}{7}} x < \log_{\frac{1}{7}} 7\). Основание \(\frac{1}{7} < 1\), поэтому знак меняется на противоположный: \(x > 7\).
2) \(2 = \log_{4} 4^{2} = \log_{4} 16\), поэтому \(\log_{4} x > \log_{4} 16\). Основание \(4 > 1\): \(x > 16\).
3) \(5 = \lg 10^{5} = \lg 100\,000\), поэтому \(\lg x < \lg 100\,000\). Основание десятичного логарифма \(10 > 1\): \[\begin{cases} x < 100\,000, \\ x > 0; \end{cases} \quad 0 < x < 100\,000.\]
4) \(-3 = \log_{\frac{1}{6}}\left(\frac{1}{6}\right)^{-3} = \log_{\frac{1}{6}} 216\), поэтому \(\log_{\frac{1}{6}} x > \log_{\frac{1}{6}} 216\). Основание \(\frac{1}{6} < 1\), поэтому знак меняется на противоположный: \[\begin{cases} x < 216, \\ x > 0; \end{cases} \quad 0 < x < 216.\]
5) \(-2 = \log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = \log_{\frac{1}{3}} 9\), поэтому \(\log_{\frac{1}{3}}(2x - 3) \geqslant \log_{\frac{1}{3}} 9\). Основание \(\frac{1}{3} < 1\), поэтому знак меняется на противоположный: \[\begin{cases} 2x - 3 \leqslant 9, \\ 2x - 3 > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x \leqslant 6, \\ x > \frac{3}{2}; \end{cases} \quad \frac{3}{2} < x \leqslant 6.\]
6) \(2 = \log_{9} 9^{2} = \log_{9} 81\), поэтому \(\log_{9}(5x + 6) \leqslant \log_{9} 81\). Основание \(9 > 1\): \[\begin{cases} 5x + 6 \leqslant 81, \\ 5x + 6 > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x \leqslant 15, \\ x > -\frac{6}{5}; \end{cases} \quad -\frac{6}{5} < x \leqslant 15.\]
Ответ: 1) \((7;\ +\infty)\); 2) \((16;\ +\infty)\); 3) \((0;\ 100\,000)\); 4) \((0;\ 216)\); 5) \(\left(\frac{3}{2};\ 6\right]\); 6) \(\left(-\frac{6}{5};\ 15\right]\).
Решите неравенство: 1) \(\log_{\frac{1}{7}} x < -1\); 2) \(\log_{4} x > 2\); 3) \(\lg x < 5\); 4) \(\log_{\frac{1}{6}} x > -3\); 5) \(\log_{\frac{1}{3}}(2x - 3) \ge -2\); 6) \(\log_{9}(5x + 6) \le 2\).
Число в правой части запишем логарифмом по тому же основанию и воспользуемся монотонностью логарифмической функции.
1) Так как \(-1 = \log_{\frac{1}{7}}\left(\frac{1}{7}\right)^{-1} = \log_{\frac{1}{7}} 7\), имеем: \(\log_{\frac{1}{7}} x < \log_{\frac{1}{7}} 7\). Основание \(\frac{1}{7}\) меньше единицы, поэтому \(x > 7\).
2) Так как \(2 = \log_{4} 4^{2} = \log_{4} 16\), имеем: \(\log_{4} x > \log_{4} 16\). Основание 4 больше единицы, поэтому \(x > 16\).
3) Так как \(5 = \lg 10^{5} = \lg 100\,000\), имеем: \(\lg x < \lg 100\,000\). Основание десятичного логарифма — число 10, оно больше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} x < 100\,000, \\ x > 0; \end{cases} \quad 0 < x < 100\,000.\]
4) Так как \(-3 = \log_{\frac{1}{6}}\left(\frac{1}{6}\right)^{-3} = \log_{\frac{1}{6}} 216\), имеем: \(\log_{\frac{1}{6}} x > \log_{\frac{1}{6}} 216\). Основание \(\frac{1}{6}\) меньше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} x < 216, \\ x > 0; \end{cases} \quad 0 < x < 216.\]
5) Так как \(-2 = \log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = \log_{\frac{1}{3}} 9\), имеем: \(\log_{\frac{1}{3}}(2x - 3) \geqslant \log_{\frac{1}{3}} 9\). Основание \(\frac{1}{3}\) меньше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} 2x - 3 \leqslant 9, \\ 2x - 3 > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x \leqslant 6, \\ x > \frac{3}{2}; \end{cases} \quad \frac{3}{2} < x \leqslant 6.\]
6) Так как \(2 = \log_{9} 9^{2} = \log_{9} 81\), имеем: \(\log_{9}(5x + 6) \leqslant \log_{9} 81\). Основание 9 больше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} 5x + 6 \leqslant 81, \\ 5x + 6 > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x \leqslant 15, \\ x > -\frac{6}{5}; \end{cases} \quad -\frac{6}{5} < x \leqslant 15.\]
Ответ: 1) \((7;\ +\infty)\); 2) \((16;\ +\infty)\); 3) \((0;\ 100\,000)\); 4) \((0;\ 216)\); 5) \(\left(\frac{3}{2};\ 6\right]\); 6) \(\left(-\frac{6}{5};\ 15\right]\).
