Страница 64 номер 7.6, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Найдите целые решения неравенства: 1) \(\log_{0{,}5}(1 - x) > -1\); 2) \(\log_{36}(x + 1) \le 0{,}5\).
1) \(-1 = \log_{0{,}5}\left(0{,}5\right)^{-1} = \log_{0{,}5} 2\), поэтому \(\log_{0{,}5}(1 - x) > \log_{0{,}5} 2\). Основание \(0{,}5 < 1\), поэтому знак меняется на противоположный: \[\begin{cases} 1 - x < 2, \\ 1 - x > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x > -1, \\ x < 1; \end{cases} \quad -1 < x < 1.\]
Единственное целое число этого промежутка — нуль.
2) \(0{,}5 = \log_{36} 36^{0{,}5} = \log_{36} 6\), поэтому \(\log_{36}(x + 1) \leqslant \log_{36} 6\). Основание \(36 > 1\): \[\begin{cases} x + 1 \leqslant 6, \\ x + 1 > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x \leqslant 5, \\ x > -1; \end{cases} \quad -1 < x \leqslant 5.\]
Целые числа этого промежутка — 0; 1; 2; 3; 4; 5.
Ответ: 1) 0; 2) 0; 1; 2; 3; 4; 5.
Найдите целые решения неравенства: 1) \(\log_{0{,}5}(1 - x) > -1\); 2) \(\log_{36}(x + 1) \le 0{,}5\).
1) Так как \(-1 = \log_{0{,}5}\left(0{,}5\right)^{-1} = \log_{0{,}5} 2\), имеем: \(\log_{0{,}5}(1 - x) > \log_{0{,}5} 2\). Основание \(0{,}5\) меньше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} 1 - x < 2, \\ 1 - x > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x > -1, \\ x < 1; \end{cases} \quad -1 < x < 1.\]
Единственное целое число этого промежутка — нуль.
2) Так как \(0{,}5 = \log_{36} 36^{0{,}5} = \log_{36} 6\), имеем: \(\log_{36}(x + 1) \leqslant \log_{36} 6\). Основание 36 больше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} x + 1 \leqslant 6, \\ x + 1 > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x \leqslant 5, \\ x > -1; \end{cases} \quad -1 < x \leqslant 5.\]
Целые числа этого промежутка — 0; 1; 2; 3; 4; 5.
Ответ: 1) 0; 2) 0; 1; 2; 3; 4; 5.
